3. Уничтожение иррациональности в знаменателе.

Пусть дана дробь , где р(х) и q(x) - многочлены над полем Q, а - иррациональный корень неприводимого многочлена

f(х) = х + а х + ... + а x + а с рациональными коэффициентами (при этом, конечно, q(x) 0. Необходимо проделать некоторые тождественные преобразования дроби, чтобы уничтожить иррациональность в знаменателе. Из доказательства теоремы 1 ясно, что необходимо сделать. Если степень q(х) больше или равна n, то делим q(x) на f(х) с остатком, получим равенство q(x) = f(x)s(x) + r(x). Подставляя значение х = , получим q( ) = r( ), поэтому = , где степень r(х) меньше степени f(х). Таким образом, всегда можно считать степень знаменателя меньшей, чем n. Но тогда ясно, что многочлены q(x) и f(х) взаимно простые, ибо f(х) – неприводимый многочлен. Пусть теперь (х) и (х) - такие многочлены над Q, что

(х)f(х) + (х)q(х) = 1 (4)

Тогда = ( ) и = р( ) ( ) (5)

Таким образом, для уничтожения иррациональности в знаменателе дроби , где - корень неприводимого многочлена f(х), необходимо сделать следующее:

1) Если степень q(х) n, то заменить q( ) на r( ), где r(х) - остаток от деления q(x) на f(х).

2) Найти многочлены (х) и (х), которые удовлетворяют (4).

3) Вычислить (х) и представить дробь в виде (5). Пример:

Рассмотрим дробь

Здесь f(х) = х² - 2, р(х) = х + 4, q(х) = 2 - х, степень q < степени f. Находим (x) и (х) такие, что (х) (х³-2) - (х) (- х + 2) = 1.

Проведя соответствующие вычисления, получим:

(x) = , (х) = x + x + .

Теперь по формуле (5) имеем:

= ( +4)( x + x + ) = + 2 + 3.

4. Конечные расширения полей.

Теорема 1 и приведенные примеры показывают, что числа поля Р( ) имеют специфическую структуру. Они представляют собой суммы вида = с + с + с₂ + ... + с , где каждый член есть произведение элемента с_к поля Р на элемент _к (к = 0, 1,.., n-1) поля Р( ).

Таким образом, можно сказать, что произвольный элемент , поля Р( ), где - корень неприводимого над полем Р многочлена степени n, есть линейная комбинация элементов 1, , ², …, с коэффициентами из поля Р. Поскольку сумма элементов Р( ) и произведение их на числа из поля Р есть снова элементы поля Р( ), то Р( ) можно рассматривать как векторное пространство над полем Р. Более того Р( ) есть алгебра над полем Р.

Обобщая наши наблюдения, рассмотрим некоторое поле F, его подполе Р. F есть линейное пространство над полем Р. Элементами этого пространства являются числа поля F, а операциями - сложение элементов поля F и умножение их на числа из поля Р.

Рассмотрим вопрос о базисе и размерности этого линейного пространства, напомнив при этом некоторые определения и факты, известные из теории векторных пространств.

Совокупность чисел , ,…, из поля F будем называть линейно независимой системой элементов относительно поля Р, если равенство

+ _{2 2} +...+ _{к к} = 0 (6),

где ,..., _к Р, возможно только при всех = 0. Если же равенство (6) удовлетворяется и тогда, когда хотя бы одно из не равно 0, то система элементов , ,…, называется линейно зависимой относительно поля Р. Примеры:

1. В поле Q( ) числа = 1 и ₂ = образуют линейно независимую систему относительно поля Q. Действительно, пусть , ₂ Q. Запишем равенство (6) для этого случая + = 0. Покажем, что тут = =0.

Допустим противное, т.е., что 0, 0. Тогда имеем = - , т.е. есть рациональное число , что неверно.

2. В поле Q( ) два числа = a +b и ₂=а₂ + b₂ могут быть линейно зависимой системой относительно поля Q. Действительно, если коэффициенты у этих чисел пропорциональны, например = = , то очевидно, a₂= a , и поэтому справедливо равенство a - a₂= 0 типа (6), в котором коэффициент при а₂ не равен нулю.

3. В поле Q( ) система элементов 1, , есть линейно независимая система относительно поля Q. (Докажите это самостоятельно). Напомним теперь некоторые простые свойства линейно зависимых и независимых систем элементов.

1) Каждая подсистема линейно независимой системы элементов относительно поля Р является также линейно независимой системой элементов относительно поля Р.

2. Любая система элементов поля F, включающая элемент нуль, линейно зависима относительно поля Р.

3. Если система элементов поля F линейно зависима относительно поля Р, то хотя бы один из ее элементов является линейной комбинацией других элементов с коэффициентами из поля Р.

4) Если хотя бы один из элементов системы , ,…, поля F является линейной комбинацией других элементов этой системы с

коэффициентами из поля Р, то система , ,…, линейно зависима относительно поля Р. ^

Возвратимся теперь к результатам теоремы 1. Эта теорема устанавливает структуру расширения Р( ) поля Р, где - корень неприводимого над полем Р многочлена f(х) n-й степени. Поле Р( ) построено так. Существуют n элементов этого поля 1, , ,…, таких, что каждый элемент P( ) есть линейная комбинация этих элементов с коэффициентами из поля Р.

Покажем, что совокупность чисел 1, , ,…, , линейно независимая система элементов относительно Р.

Запишем равенство вида (6)

1 + + + … + = 0, где P

Если это равенство удовлетворяется не при всех равных нулю, то это означает, что - корень некоторого многочлена

( ) = + x + х² + ... + x с коэффициентами из поля Р, степень которого не превышает n-1. Но это невозможно, т.к. многочлен f(х) степени n есть минимальный многочлен числа .

Таким образом, если - алгебраическое число n-ой степени относительно поля Р, то элементы расширения Р( ) есть линейные комбинации с коэффициентами из поля Р элементов линейно независимой относительно Р системы чисел 1, , ,…, .

В общем случае рассмотрим некоторое числовое поле Р и его расширение F. Допустим, что в F существует линейно независимая относительно Р система элементов , ,…, такая, что каждый элемент Р является линейной комбинацией чисел , ,…, с коэффициентами из Р .

Систему , ,…, можно назвать базисом расширения F поля P, ибо она образует базис линейного пространства F над полем Р. Количество элементов этого базиса конечно и равно n. Дадим полное определение введенных понятий.

Определение 6. Расширение F поля Р называется конечным, если в поле F существует такая линейно независимая относительно поля Р система элементов , ,…, , что всякий элемент Р есть линейная комбинация этих элементов с коэффициентами из Р:

= + + … + (7)

Система элементов , ,…, называется базисом поля F относительно поля Р.

Базис конечного расширения можно выбрать не одним способом. Однако все базисы имеют одно и то же число элементов n. Более того: произвольная линейно независимая система из n элементов есть базис. Таким образом, число n есть характеристика самого конечного расширения F поля Р, не зависимая от выбора базиса. Число n называют степенью расширения F над полем Р и обозначают (F: Р).

Ясно, что (F : Р) есть размерность линейного пространства F над полем Р. Поэтому степень конечного расширения F над полем Р равна максимальному числу элементов поля F, которые могут образовывать линейно независимую систему.

Примеры:

4. Поле Q( ) чисел вида а + b , где а, b Q, есть расширение поля Q степени 2, так как существует базис поля Q( ) относительно поля Q, который состоит из двух элементов. В качестве базиса можно взять числа 1 и . Можно также взять и другие числа, например, 1 - и 1 + , или вообще числа, а + b и a₂ + b₂ , лишь бы система этих чисел была линейно зависимой относительно Q.

5. Поле Q( ) есть конечное расширение степени 3 поля Q. Базис этого поля относительно поля Q образуют, например, числа 1, , или 1 + , 1 - ,1 + .

6. Поле С комплексных чисел относительно поля R действительных чисел есть конечное расширение степени 2. Базис поля С относительно поля R образует, например, числа 1 и i.

7. Расширение F первой степени над полем Р совпадает с полем Р. (Проверьте это самостоятельно)

Важно отметить, что далеко не всякое расширение поля является конечным. Так, поле R действительных чисел есть расширение поля Q рациональных чисел; но это расширение не является конечным, так как в нём не существует конечного базиса.