Рациональные корни многочлена с рациональными коэффициентами

Рассмотрим элементарные способы нахождения рациональных корней уравнения с рациональными коэффициентами.

Теорема 5. Если , где р и q – взаимно простые числа, является рациональным корнем уравнения (2), с целыми коэффициентами, то и .

□ Если – корень уравнения (2), то

или .

Так как все слагаемые, кроме последнего, делятся на сумма (нуль) также делится на р, то , но р и q – взаимно простые числа и поэтому . Аналогично, все слагаемые, кроме первого, делятся на q, сумма делится на q, поэтому , откуда ■

Следствие. Если старший коэффициент уравнения с целыми коэффициентами равен 1, то все рациональные корни этого уравнения являются делителями свободного члена и целыми числами.

Теорема 5 дает возможность по коэффициентам и данного уравнения найти все рациональные числа, которые могут быть корнями этого уравнения. Далее, подставляя эти числа в уравнение, можно найти, какие из них являются его корнями.

Пример 4. Уравнение модет иметь рациональными корнями числа вида , где , а именно (*)

Теорема 5 дает необходимое условие того, чтобырациональное число было корнем данного уравнения с целыми коэффициентами, однако желательно иметь несколько необходимых условий, чтобы с их помощью уменьшить число проб.

Теорема 6. Для того, чтобы число , где , было корнем многочлена с целыми коэффициентами , необходимо, чтобы при произвольном целом k число делилось на (если только ).

□ Разделим на . По теореме Безу имеем

(3)

Все коэффициенты частного – целые числа. Подставляя в (3) и, учитывая, что , получим

Умножая обе части на , получим

, откуда видно, что делится на , если . Покажем теперь, что q и – взаимно простые числа. Действительно, если бы они имели общий делитель , , то и имело бы этот делитель, что невозможно, т.к. . Следовательно, q и , а поэтому и и – взаимно простые числа. Так как произведение делится на , то это оэначает, что делится на . ■

Пример 5. Применим теорему 6 к уравнению из примера 4

.

Для данного уравнения , . Посмотрим, для каких из чисел (*) кроме отношения и являются целыми числами. Таковыми являются числа . Эти числапроверяем уже непосредственно, подставляя их в уравнение. Проверка показываети, что только два из этих чисел, а именно и -3 являются рациональными корнями уравнения. Деля левую часть уравнения на х+3 и по схеме Горнера, получим квадратное уравнение, корни которого есть числа . Вместе с числами и -3 имеем все четыре корня уравнения.

Лекция 3

Понятие алгебраического числа

1. Вводное замечание.

2. Свойства модуля многочлена.

3. Основная теорема алгебры комплексных чисел.

4. Разложение многочлена над полем С в произведение линейных множителей.

5. Разложение многочлена над полем R в произведение неприводимых множителей.

6. Задачи и упражнения для самостоятельного выполнения.