4. Разложение многочлена над полем с в произведение линейных множителей

Из доказанной основной теоремы 4 вытекает ряд важных следствий.

Теорема 5. Каждый многочлен, степень которого больше единицы, приводимый над полем комплексных чисел.

□ Пусть – многочлен степени . В соответствии с основной теоремой существует хотя бы один корень этого многочлена. Но тогда делится на , т.е. .

Очевидно, что степень многочлена не равна нулю. Тем самым проводимость над полем С доказана. ■

Следствие. Для того, чтобы многочлен был неприводим над полем комплексных чисел, необходимо и достаточно, чтобы его степень была равна единице.

Теорема 6. Каждый многочлен n –й степени над полем комплексных чисел единственным способом (с точностью до порядка множителей) разлагается на линейные множители над этим полем.

,

где – корни, а – старший коэффициент многочлена .

□ Ранее мы доказали, что каждый многочлен над полем С можно разложить в произведение неприводимых над этим полем многочленов , причем многочлены определены однозначно с точностью до постоянного множителя. Но над полем С неприводимыми являются только линейные многочлены. Следовательно, все многочлены первой степени, и поэтому их число . Т.к. определяются с точностью до полного множителя, то можно считать нормированными, т.е. . Тогда может отличаться от произведения всех только постоянным множителем, т.е.

Приравнивая старшие коэффициенты в обеих частях этого равенства, видим, что . Очевидно, что числа являются корнями . Обозначая из через получим разложение (18), однозначное с точностью до порядка множителей. ■

Из разложения (18) вытекает, что никакое комплексное число отличное от не может быть корнем многочлена . Т.е. справедливо утверждение.

Теорема 7. Многочлен n-й степени в поле комплексных чисел имеет ровно n-корней.

Из разложения (18) видно также, что все корни над полем С принадлежат этому же полю С, т.е. полем разложения всякого многочлена с комплексными коэффициентами есть поле С комплексных чисел. Следовательно, поле С алгебраически замкнуто.

Эти результаты показывают, что только при переходе к комплексной области можно создать общую теорию алгебраических уравнений; в поле Q или в поле R те или иные уравнения могут вообще не иметь корней или иметь только некоторые из них.

Т.к. в разложении (18) многочлена над полем С могут быть кратные множители, то в этом случае разложение (18) будет иметь вид

(19)

– корни , среди которых нет равных между собой .

В этом случае теорема 7 и формулы Виета справедливы, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность.

5. Разложение многочленов над полем r в произведение неприводимых множителей

Уравнения с действительными коэффициентами являются распространенным частным случаем алгебраических уравнений с комплексными коэффициентами. Так поле R – подполе поля С, то все результаты пункта 4 остаются в силе и для многочленов над полем R, т.е. всякий многочлен n- степени с действительными коэффициентами имеет ровно n комплексных корней. Но иногда особый интерес представляют именно действительные корни уравнений с действительными коэффициентами. Конечно, уравнения с действительными коэффициентами вообще могут не иметь действительных корней, например, уравнение .

Но оказывается, что основная теорема алгебры комплексных чисел дает возможность делать ряд выводов и относительно наличия действительных корней с действительными коэффициентами.

Теорема 8. Если комплексное число является корнем многочлена с действительными коэффициентами

, (19)

то сопряженное комплексное число тоже является корнем этого многочлена.

□ Вычислим и отметим в этом числе действительную и мнимую части

т.к. – корень , то , отсюда .

Найти аналогично . Так как все коэффициенты многочлена – действительные числа, то и поэтому

(20)

Сравнивая (19) и (20), видим, что можно получить из всех чисел, заменой их на сопряженное. Т.к. над этими числами выполняются только операции сложения и умножения, то на основании свойств комплексно сопряженных чисел, и является сопряженными комплексными числами, т.е. . Но так как , то . ■

Теорема 9. Если комплексное число является корнем к – й кратности многочлена с действительными коэффициентами, то сопряженное комплексное число также является корнем той же кратности многочлена .

□ Так как – корень кратности к многочлена , то

(21)

Но все производные от многочлена с действительными коэффициентами суть тоже многочлены с действительными коэффициентами. Поэтому, применяя теорему 8 к , можно сделать вывод, что .

С другой стороны, , т.к. из следовало бы , а это противоречит (21). Следовательно, является корнем многочлена той же кратности к. ■

Теорема 10. Каждый многочлен с действительными коэффициентами, степень которого превышает 2, приводим над полем R.

□ Пусть – некоторый корень многочлена . Возможны два случая.

а) – действительное число. Тогда по теореме Безу в поле R справедливо представление , причем и степень . В этом случае теорема справедлива: приводим над R.

б) – комплексный (не действительный) корень . Тогда по теореме 9 комплексное число тоже является корнем этого многочлена и поэтому делится как на линейный множитель , так и на . Значит,

А это значит, что .

Учитывая, что и – действительные числа, видим, что делится на многочлен второй степени с действительными коэффициентами. Т.к. – многочлен степени выше второй, то степень Т.о., многочлен является приводимым над R. ■

Теорема 11. Каждый многочлен с действительными коэффициентами единственным образом разлагается над полем R в произведение линейных множителей и квадратных трехчленов.

Это утверждение непосредственно вытекает из теорем 7 и 10.

Пример 1. Многочлен не имеет ни одного действительного корня. Его корнями являются попарно сопряженные комплексные числа.

Значит

– разложение над полем С.

А разложение над R имеет вид: