3. Основная теорема алгебры комплексных чисел
Теорема 3. Каждый многочлен степени с действительными коэффициентами имеет по крайней мере один действительный корень.
□ Заметим, что
любое натуральное число
можно записать так:
где,
– целое число, а
– некоторое нечетное натуральное число.
Пусть
– некоторый многочлен с действительными
коэффициентами степени
.
Докажем теорему методом математической индукции по к.
При
показатель степени
–
нечетное число, и поэтому по теореме 2
утверждение справедливо, т.к. многочлен
имеет действительный корень.
Допустим, что
теорема 3 справедлива для произвольного
многочлена с действительными коэффициентами
степени
,
т.е. для многочлена степень которого
делится на
и не делится на
.
Докажем, что тогда она справедлива для
всякой многочлена с действительными
коэффициентами степени
.
Для многочлена
,
который рассматривается над полем С
существует поле разложения
.
В этом поле
имеет n корней. Обозначим
их
.
Выберем теперь произвольное действительное
число
и рассмотрим все возможные элементы
поля
,
которые имеют вид
.
Число таких
элементов
равно, как нетрудно увидеть, числу
сочетаний из n элементов
по два, т.е.
,
где
– нечетное число.
Рассмотрим теперь
многочлен
.
Корнями этого
многочлена являются числа
и только они. Степень
равна
.
Т.к.
– действительное число, то коэффициенты
– многочлены от
с действительными коэффициентами, а
значит и от
.
Легко понять, что любая подстановка
элементов
приводит
к постановке линейных множителей
многочлена
а сам многочлен от этого не изменится. А раз многочлен не изменится, то значит не изменяется и его коэффициенты при перестановке элементов . А это значит, что коэффициенты многочлена – симметрические многочлены от над полем R.
Но так как
– корни многочлена
с действительными коэффициентами, то
в соответствии с теоремой 3 о симметрических
многочленах, коэффициенты многочлена
– действительные числа. Тем самым
многочлен
именно такой, о котором было сделано
предположение индукции, значит
имеет хотя бы один комплексный корень.
Но поскольку корнями
являются только элементы
,
то хотя бы один из этих элементов должен
быть комплексным числом.
Т.о., какие бы мы
не взяли действительное число
,
можно указать такую пару индексов
,
что элемент
поля
является комплексным числом. Разным
действительным числам
и
будут соответствовать разные пары
индексов. Но множество действительных
чисел бесконечно, а число всех возможных
пар индексов конечное, значит можно
выбрать такие два разных действительных
числа
и
, что им будет отвечать одна и та же пара
индексов
,
для которых
(14)
……………………………….(15)
Являются комплексными
числами. Вычитая почленно эти равенства,
получим
,
откуда
(16)
Подставляя (16) в (14), получим
Отсюда
(17)
Как видим сумма
и
произведение
–
комплексные числа. Но тогда из (16) и (17)
можно найти
и
которые, очевидно, тоже являются
комплексными числами. Числа
и
можно найти, например, как корни
квадратного уравнения
.
Тем самым мы установили, что среди корней многочлена существуют даже два комплексных корня ■
Докажем теперь более широкую, по сравнению с теоремой 3, теорему для многочленов с комплексными коэффициентами.
Теорема 4. (основная теорема алгебры комплексных чисел).
Каждый многочлен ненулевой степени с комплексными коэффициентами имеет хотя бы один комплексный корень.
□ Пусть
– многочлен степени
с произвольными комплексными
коэффициентами.
Рассмотрим многочлен
,
где
– сопряженное с
комплексное
число.
Теперь рассмотрим произведение
,
где
.
В соответствии со свойствами сопряженных комплексных чисел
,
т.е. все коэффициенты
многочлена
– действительные числа. Следовательно,
по теореме 3 многочлен
имеет хотя бы один комплексный корень
.
Но тогда
.
Отсюда либо
,
либо
.
В первом случае
является корнем многочлена
.Во
втором случае имеем
Заменим здесь все
комплексные числа сопряженными, получим
,
т.е. число
является
корнем многочлена
и поэтому опять справедлива.