6.Наименьшее общее кратное

Определение 4. Общим кратным многочленов f(x) и g(x) P[x] называется любой многочлен без остатка, S(x) P[x], который делится и на f(x), и g(x) без остатка т.е. S(x) – общее кратное многочленов f(x) и g(x)  S(x) f(x)^ S(x) g(x)

Определение 5. Наименьшим общим кратным многочленов f(x) и g(x) называется их общее кратное, которое делит любое их общее кратное т.е. (f,g)= [f,g]

Теорема 3. Для произвольных двух многочленов f(x) 0 P[x] и g(x) 0 P[x] наименьшее общее кратное существует в кольце P[x] и определяется однозначно, с точностью до постоянного множителя.

Доказательство:

Рассмотрим многочлен q(x)= , где наибольший общий делитель многочленов f(x) и g(x), а значит он делит и f(x) и g(x). Представим q(x) следующим образом q(x)= , отсюда видно, что

q(x)= . Значит q(x) является общим кратным многочленов f(x) и g(x)

Осталось доказать, что q(x) наименьшее общее кратное f(x) и g(x).

Рассмотрим теперь другое произвольное общее кратное многочленов f(x) и g(x).Обозначим его S(x); т.е. , это значит, что

, и поэтому S(x)=S₁(x)f(x), причём

=>

Теперь представим многочлен f(x) и g(x) в виде: где многочлены из P[x]. При этом =1. Значит, . Теперь представим P(x) в виде P(x)= т.к. и - взаимно простые, то

• Введём обозначение:

получим откуда т.е. Т.о., действительно q(x) есть НОК многочленов f(x) и g(x):

Если q₁(x) – другое НОК этих многочленов, то и , т.е. q(x) и q₁(x) ассоциированы в P[x] и поэтому отличаются лишь постоянным множителем.

Если приходится находить наибольший общий делитель нескольких многочленов , то нужно поступать следующим образом

находим , затем ищем , ,

Покажем, что - наибольший общий делитель многочленов

В самом деле, многочлен , и т.д., наконец Таким образом - общий делитель многочленов .Если теперь d(x) какой-нибудь общий делитель этих многочленов, то он является делителем многочленов вТогда он является общим многочленом .Таким образом многочлен делится на любой другой общий делитель данных многочленов => = .Ясно, что если какие-то два из многочленов - взаимно простые, то тогда наибольший общий делитель =1

Аналогичным способом находится и наименьшее общее кратное нескольких многочленов.

7. Неприводимые многочлены

Кольцо многочленов от одной переменной над полем - – это область целостности, Евклидово кольцо, кольцо главных идеалов.

Выясним, какие элементы области целостности являются неразложимыми (или простыми).

В соответствии с общей теорией, элемент области целостности является неразложимым (простым), если он не является делителем 1 или не имеет тривиальных делителей.

Переформулируем это определение применимо к кольцу . Для простого многочлена введем специальный термин неприводимого многочлена.

Определение 6. Многочлен , принадлежащий , называется неприводимым в кольце или над полем , если он не является const и не имеет в кольце делителей, отличных от 1 и многочленов вида , где .

Определение 7. Многочлен , принадлежащий , называется неприводимым над полем , если степень и если из равенства следует, что ст. или ст. , причем и .

Составные элементы области целостности называются приводимым в кольце (или над полем Р). Это еще можно выразить так:

Определение 8. Многочлен , принадлежащий , называется приводимым в кольце или над полем , если ст и существуют такие многочлены и , принадлежащие , что , причем ст и ст .

Так как из равенства следует, что ст ст. ст. , что ст и ст , тогда и только тогда, когда ст < ст и ст < ст .

Другими словами, многочлен приводим над полем , если его можно представить в виде произведения двух ненулевых многочленов из , степени которых меньше степени .

Таким образом, любой многочлен является либо приводимым, либо неприводимым в кольце многочленов .

Приводимость или неприводимость данного многочлена относительна, т. е. зависит от того, над каким полем этот многочлен рассматривается. Любой многочлен , рассматриваемый над полем , может быть рассмотрен и над полем , где - произвольное расширение поля . И значит, многочлен, неприводимый над полем , может оказаться приводимым над некоторым расширением поля .

Пример 9. Рассмотрим .

– неприводим над полем Q, так как его нельзя представить в виде произведения многочленов первой степени с рациональными коэффициентами;

– неприводим над полем R;

–приводим над полем С, так как .

Докажем, что – неприводим над R (методом от противного). Предположим, что – приводим над R, следовательно, , , . Предположим, что

,

,

чего не может быть по условию, следовательно, f - неприводим над R.

К многочленам нулевой степени (const≠0) понятие приводимости и неприводимости не применяются. Они в теории делимости многочленов играют такую же роль, как и числа ±1 в теории целых чисел.

Теорема 5. Многочлен первой степени над любым полем неприводим в кольце .

Доказательство:

Это утверждение очевидно, если учесть, что степень произведения многочленов равна сумме степеней сомножителей: если , где > и > .

Некоторые свойства неприводимых многочленов (которые являются конкретизацией для случая кольца общих свойств простых элементов в любой области целостности).

1. Если многочлен неприводим над полем , то неприводим будет многочлен , где с принадлежит (с – любая константа ≠0).

2. Если многочлен неприводим над полем , а – любой многочлен из кольца , следовательно, либо делится на , либо .

3. Если неприводимый многочлен из кольца делится на другой неприводимый многочлен , то они совпадают с точностью до постоянного множителя, т.е. .

Свойства 1 и 2 не требуют доказательств, т. к. они воспроизводят для кольца свойства простых элементов любой области целостности, доказанные ранее. Для доказательства свойства 3 заметим следующее: по условию, многочлены и имеют общий делитель ненулевой степени, следовательно, они не являются взаимно простыми. Т.к. – неприводимый многочлен, то (по свойству 2) должен на него делиться. Значит, многочлены и делятся друг на друга и являются, поэтому ассоциированными, т.е. отличаются только множителем нулевой степени. Итак, неприводимость и приводимость многочлена существенно зависит от того, над каким полем этот многочлен рассматривается. В отличие от этого, взаимная простота двух многочленов, а значит и их НОД не зависят от того, над каким полем рассматриваются эти многочлены, а вполне определяются данными многочленами, независимо от того, к какому кольцу многочленов мы их относим.

Пример 10.

Эти два многочлена взаимно просты в кольцах R[x], Q[x] и C[x], т.е. эти многочлены вполне определяются данными многочленами, независимо к какому кольцу многочленов они относятся.

Иначе говоря, НОД во всех случаях один и тот же (=1), хотя делители различны в различных кольцах многочленов.

Это объясняется тем, что НОД находится с помощью рациональных действий над данными многочленами; и поэтому его коэффициенты вполне определяются коэффициентами этих многочленов и принадлежат тому же полю. Из этих соображений ясно, что делимость или не делимость на также не зависит от того поля, над которым эти многочлены рассматриваются.