4. Теорема Безу

Теорема 1 (Безу). Для любого элемента из поля P остаток при делении многочлена f(x) P[x] на равен f( )

Доказательство:

Деля f(x) на с остатком, имеем , где многочлен есть константа, поскольку его степень меньше степени

В это равенство вместо подставим , получим f( )=( - ) S( ) + ; f( ) = . И в алгебре, и в математическом анализе часто приходится разлагать многочлен f(x) по степеням

Пусть многочлен f(x) – многочлен n-ой степени над полем P; - элемент этого поля. Деление многочлена f(x) на даёт нам: f(x)=( ) f₁(x) + , где f₁(x) – многочлен (n-1)-й степени, а - элемент поля P. Если n > 1, то поделим f₁(x) на :

f₁(x) = ( )f₂(x)+ , где степень f₂(x) равна (n – 2). Аналогично получаем

………………………

f_n-1(x) = f_n(x)+ . Очевидно, что степень f_n(x)=0 т.е. f_n(x) = - констант, элемент поля P. Выразим из этих равенств: f(x)= . Такое выражение многочлена f(x) называется разложением его по степеням двучлена . При этом коэффициенты - есть остатки от деления многочлена : - остаток от деления f(x) на , - остаток от деления f₁(x) на , …, - остаток от деления на , - последнее частное в процессе последовательного деления.

Пример 5. Найти разложение многочлена f(x)= по степеням двучлена

Составим следующую таблицу, пользуясь схемой Горнера

	1	0	-3	1	-2	1
1	1	1	-2	-1	-3	-2
1	1	2	0	-1	-4
1	1	3	3	2
1	1	4	7
1	1	5
1	1

В первой строке этой таблицы стоят коэффициенты данного многочлена, во второй строке – коэффициенты частного и остатка , в третьей строке содержится результат деления на и остаток и т.д. Искомыми коэффициентам являются обведенные в таблице числа , а разложение f(x) по степеням имеет вид:

f(x) =

Пример 6. Разложить на простейшие дроби дробь:

Для этого разложим числитель дроби, т.е. многочлен по степеням двучлена , который находится в знаменателе дроби. Опять применим Схему Горнеру, получим:

	1	0	2	-3
-3	1	-3	11	- 36
-3	1	-6	29
-3	1	-9
-3	1

Следовательно . И поделим почленно числитель полученной дроби на знаменатель, получим:

- Это и есть разложение данной дроби на простейшие дроби.