4. Задачи и упражнения для самостоятельного выполнения

1. Какие известные вам кольца являются кольцами главных идеалов?

2. В каком виде можно представить НОД двух элементов в кольце главных идеалов?

3. Найти НОД чисел и в кольце (примените алгоритм Евклида). Выразите НОД линейным образом через и .

4. В кольце число 5 имеет такие разложения на множители: . Значит ли это, что в неверна теорема об однозначности разложения на простые множители?

Лекции 6-8 Многочлены над кольцом или полем. Функциональное толкование многочлена. Поле рациональных дробей. Теория делимости многочленов.

План.

1. Многочлены над полем.

2. Кольцо многочленов как евклидово кольцо.

3. Техника деления с остатком. Схема Горнера.

4. Теорема Безу.

5. Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида.

6. Наименьшее общее кратное.

7. Неприводимые многочлены.

8. Вопросы и упражнения для самостоятельной работы.

1. Многочлены над полем

До сих пор мы рассматривали многочлен с неизвестной область целостности. Теперь потребуем, чтобы область целостности была полем. Любое поле есть область целостности с единицей. Значит, все результаты остаются в силе для этих многочленов для любых f(x) Р[х]; f(x) = g(x)S(x)+r(x), g(x) ≠ 0 P[x], s(x), r(x) P[x] (по теореме деления с остатком)

Нас будет интересовать тот случай, когда r(x) = 0, в этом случае говорят, что деление происходит без остатка (или нацело). Нуль-многочлен – это многочлен, все коэффициенты которого равны нулю: 0xⁿ + 0x^n-1 + … + 0x = 0 R – нулевой элемент поля P . Многочлен нулевой степени: 0xⁿ + 0x^n-1 + … + 0x + 0 ≠ 0; с = const, c P.

При делении нацело многочлена f(x) на многочлен g(x) в остатке получается нулевой многочлен. Будем считать, что f(x) P[x] делится на g(x) P[x], если существует S(x) P(x) такой что выполняется равенство: f(x) = g(x)S(x) (1)

Терминология и обозначения : f(x) g(x) – f(x) делится на g(x); f(x) / g(x) – g(x) делит f(x), g(x) является делителем f(x).

Как раннее было доказано, в этом случае частное s(x) находится однозначно. Очевидно, что нуль – многочлен делится на любой многочлен, не равный нулю; При этом частное – снова нуль-многочлен. Если делимое не является нуль – многочленом, значит частное не является нуль - многочленом. Поэтому будем считать, что любые многочлены не равны нулю.

Итак, кольцо многочленов P[x] не является полем, а значит, вообще говоря, многочлены из P[x] не делятся друг на друга без остатка. Но в отдельных случаях это деление происходит. Интерес к такому случаю определяется тем, что представление многочлена f(x) в виде произведения нескольких многочленов часто позволяет упростить решение связанных с ним задач. В частности, это обстоятельство существенно используется при решении алгебраических уравнений.

2. Кольцо многочленов как евклидово кольцо

Свойства делимости многочленов в кольце P[x] получаются как частный случай из свойств делимости в произвольной области целостности. А кольцо P[x], как было доказано, - область целостности, евклидово кольцо, следовательно, кольцо главных идеалов. При этом будем считать, что делителями единицы в кольце P[x] (1 = 0xⁿ + 0x^n-1 + … + bx + 1, 1 P) является только константы (элементы поля P) и только они.

1⁰ f(x), g(x), h(x) P[x] ((f;g) = 1 ^ (f;h) = 1) => (f,gh)=1

2⁰ f(x), g(x), h(x) P[x] (f(x), g(x) h(x) ^ (f;h) = 1) => g(x) h(x)

3⁰ f(x), g(x), h(x) P[x] f(x) h(x) => f(x)g(x) h(x)

4⁰ f₁(x), f₂(x), …, f_n(x), h(x) P[x] (f₁(x) h(x) ^ f₂(x) h(x)^…^ f_n(x) h(x)) =>

=>( g₁(x), g₂(x), …, g_n(x) P[x])

(f₁(x)g₁(x) + f₂(x)g₂(x) + …+ f_n(x)g_n(x)) h(x)

Если несколько многочленов f₁(x), f₂(x), …, f_n(x) делятся на h(x), то и линейная комбинация f₁(x)g₁(x) + f₂(x)g₂(x) + …+ f_n(x)g_n(x) делится на h(x)

5⁰ f(x) P[x] ^ P / {0} [f(x) c]

6⁰ f(x), g(x) P[x], P / {0} (f(x) h(x)) => f(x) cg(x)] (c = const 0)

Известно, что 2 элемента области целостности называются ассоциированными, если они делятся друг на друга или они отличаются лишь множителем, являющимся делителем единицы.

В частности, в кольце P[x] элементы f(x) и g(x) называются ассоциированными, если они отличаются на множитель, который является отличной от нуля константой принадлежащей полю P, т.е. f(x) = cg(x); g(x) = f(x)= f(x); c 0= const P

В этом случае говорят, что многочлены f(x) и g(x) называются ассоциированными, если они отличаются лишь постоянным множителем или совпадают до постоянного множителя.