2. Кольцо главных идеалов

Определение 7. Кольцом главных идеалов называется область целостности, в которой каждый идеал является главным.

Пример 1. Простейшим примером кольца главных идеалов является кольцо целых чисел Z. Как известно, кольцо Z является областью целостности и по теореме 8. лекции №9 каждый его идеал главный.

Пример 2. Каждое поле Р является кольцом главных идеалов. Действительно, поле Р является областью целостности; если J является ненулевым идеалом поля Р, то вместе с любым своим элементом он содержит и элемент и, следовательно, .

Конечно, не каждая область целостности является кольцом главных идеалов. Ниже мы приведем примеры таких областей целостности. А теперь изучим свойства колец главных идеалов. Всюду дальше будем считать, что К – кольцо главных идеалов.

Теорема 1. Любые два элемента а и b кольца главных идеалов имеют наибольший общий делитель d, причем , где и – некоторые элементы кольца К.

□ Если один из элементов а и b равен нулю, то справедливость теоремы очевидна: d=b, если a=0, т.к. ; d=a, если b=0. Пусть а и b – любые отличные от нуля элементы кольца К. Они порождают идеал , который состоит из всех элементов вида , где – любые элементы кольца К.

Т.к. К – кольцо главных идеалов, то идеал является главным, т.е. порождается некоторым элементом : . Поэтому

(2)

(3)

Из равенства (3) следует, что d является общим делителем элементов а и b; из равенства же (2) следует, что d делится на любой общий делитель элементов а и b. Следовательно, d является НОД.■

Докажем утверждение, которое является критерием взаимной простоты двух элементов кольца главных идеалов.

Теорема 2. Элементы а и b кольца главных идеалов К взаимно простые тогда и только тогда, когда в кольце К есть такие элементы и , что .

□ Необходимость условия очевидна: если а и b – взаимно простые, т.е. , то теорема 1 в кольце К существуют такие элементы и , что .

Докажем достаточность условия. Предположим, что в кольце К существуют такие элементы и , что . Из этого равенства следует, что общими делителями элементов а и b могут быть лишь делители, следовательно, элементы а и взаимно простые. ■

Теорема 3. Если элемент а взаимно простой с каждым из элементов b и с, то он взаимно простой и с произведением этих элементов

□ Так как по условию теоремы элементы а и b – взаимно простые, то по теореме 2 существуют такие и , что .

Умножив это равенство на с, получим .

Из этого равенства следует, что каждый общий делитель элементов а и bc будет делителем и элемента с. Но по условию теоремы общими делителями элементов а и с являются только делители единицы, поэтому и общими делителями а и bc будут только делители единицы и, следовательно, а и bc взаимно простые. ■

Теорема 4. Если произведение элементов и делится на элемент , но а и с взаимно простые, то делится на с.

□ Так как по условию теоремы а и с взаимно простые, то существуют такие , , что

Умножив это равенство на b, получаем

.

Оба слагаемых левой части делятся на с, а потом и правая его часть делится на с. ■

Теорема 5. Если элемент делится на каждый из элементов и , которые между собой взаимно простые, то а делится и на произведение bc.

□ По условию теоремы , т.е. . Поскольку по условию и , то . Но b и с взаимно простые, поэтому по теореме 4 , т.е. . Следовательно, , т.е. . ■

Теорема 6. Если К – кольцо главных идеалов и р – простой элемент этого кольца, то фактор кольцо К/(р) является полем.

□ Единичный элемент кольца К/(р) является элемент , нулевой элемент этого кольца .Очевидно, что . В самом деле, если бы , то элемент 1 содержался бы в идеале (р) и поэтому р/1. Но элемент р не может быть делителем единицы, поскольку он неразложимый. Следовательно, в фактор - кольце К/(р) есть по крайней мере один отличный от нулевого элемент.

Покажем, что в кольце К/(р) выполнима операция деления, кроме деления на нуль, т.е. для любых элементов и кольцо К/(р) уравнение имеет в этом кольце решение. Поскольку , то , т.е. а не делится на р. Следовательно, по второму свойству неразложимых элементов, элементы а и р – взаимно простые, т.е. . Поскольку по теореме 2 в кольце К существуют такие элементы и , что

Отсюда и, значит, .

Таким образом, является решением уравнения . ■

Следствие. Если произведение нескольких элементов кольца главных идеалов К делится на простой элемент , то по крайней мере один из сомножителей делится на р.

□ Пусть произведение делится на простой элемент , т.е. что . Рассмотрим элементы и . По определению операции умножения в фактор – кольце К/(р) имеем: .

Так как , то и, следовательно, . Отсюда, поскольку по теореме 6, К/(р) является полем, вытекает, что для некоторого m . Но означает, что , т.е., что . ■

Наша цель теперь – доказать, что в кольце главных идеалов каждый элемент разлагается в произведение простых (неразложимых) сомножителей. Это доказательство основывается на следующей лемме.

Лемма. В кольце главных идеалов К не существует бесконечной строго возрастающей последовательности идеалов

(4)

□ Предположим, что бесконечная строго возрастающая последовательность идеалов (4) существует. Обозначим U объединение всех идеалов последовательности (4). Покажем, что U является идеалом кольца К. Если и , то а является элементом некоторого идеала J_s, а b – некоторого идеала J_e. Поэтому а и b являются элементами идеала J_m, где m – наибольший из индексов s и l. Следовательно, и для любого . Так как К – кольцо главных идеалов, то идеал U главный. Пусть U=(u). Элемент u, как элемент объединения идеалов последовательности (4), принадлежит некоторому идеалу J_k, а значит и каждому идеалу J_j при .

Поэтому . А это противоречит предположению. ■

Теорема 7. В кольце главных идеалов К каждый отличный от нуля элемент, который не является делителем единицы, разлагается в произведение простых сомножителей.

□ Для каждого простого элемента кольца К теорема справедлива: для него произведение состоит из одного сомножителя. Предположим, что в кольце К есть отличный от нуля элемент а, который нельзя разложить в произведение простых сомножителей. Элемент а не простой и, следовательно, где – нетривиальные делители элемента а.

По крайней мере один из элементов невозможно разложить в произведение простых сомножителей, так как в противном случае и элемент а разлагался бы в произведение простых сомножителей. Не теряя общности рассуждений, будем считать, что невозможно разложить в произведение простых сомножителей. Тогда , где – нетривиальные делители. По крайней мере один из сомножителей также невозможно разложить в произведение простых сомножителей. Пусть этим элементом будет . Для элемента повторим рассуждение ит.д. Этот процесс последовательного разложения не может оборваться. Таким образом, мы получим бесконечную последовательность элементов (5) в которой каждый последующий член является собственным делителем предыдущего.

Если является собственным делителем , то поскольку , где – некоторый элемент из К. Поэтому главные идеалы, порожденные элементами последовательности (5), образуют бесконечную строго возрастающую последовательность идеалов

, а это противоречит доказанной лемме. Следовательно, наше предположение неверное. ■

Теорема 8. Если – два разложение элемента а кольца главных идеалов К в произведение простых сомножителей, то , при соответствующей нумерации сомножителей, справедливы равенства , где – некоторый делитель единицы кольца К.

□ Докажем теорему индукции по . При справедливость теоремы очевидна, т.к., если элемент простой, то произведение может содержать только один сомножитель . Предположим, что теорема справедлива для , и докажем, что тогда теорема справедлива и для .

Из равенств и следует, что

(6)

Из равенства (6) следует, что делится на . Поэтому по следствию из теоремы 6, по крайней мере один из сомножителей делится на . Будем считать, что на делится сомножитель : этого всегда модно достигнуть изменением нумерации сомножителей . Так как – простой элемент и делится на простой элемент , то , где – некоторый делитель единицы кольца К. Подставив в равенство (6) вместо и сократив обе части полученного равенства на , получим:

.

Но, по индуктивному предположению, и при соответствующей нумерации сомножителей :

, где – некоторые делители единицы кольца К. Поэтому и при соответствующей нумерации сомножителей :

■

Встает вопрос, нельзя ли распространить теоремы 7 и 8 на любую область целостности, даже если она не является кольцом главных идеалов? Ответ на вопрос в общем случае отрицательный.

Пример 1. Пусть М – множество всех действительных чисел вида , где n – любое натуральное число, – любые целые числа, – любые числа вида (m, k – целые неотрицательные числа). Сумма, разность и произведение чисел этого вида – числа такого же вида. Следовательно, М – кольцо. При и получаем , поэтому , в частности . Очевидно, что М является областью целостности. В этой области целостности число 2 разлагается в произведение множителей так:

Можно доказать (Докажите это!), что числа вида , где к – целое неотрицательное число, не являются делителями единицы в кольце М. Таким образом, число 2 нельзя разложить в произведение простых сомножителей в кольце М.

Пример 2. Пусть А – множество всех комплексных чисел вида , где а и b – любые целые числа. Сумма, разность и произведение чисел такого вида, очевидно, есть числа того же вида. Следовательно А – кольцо. Если b=0 , то z=a и поэтому . Значит, А является областью целостности. Можно доказать, что в А каждое число разлагается в произведение простых сомножителей. Но однозначности разложения в этом кольце нет. Для числа 6, например, в этом кольце существуют такие два разложения

и .

Но вместе с тем, существуют области целостности, не являющиеся кольцами главных идеалов, но в них имеют место теоремы 7 и 8.