1. Делимость в области целостности

Пусть К область целостности. Поскольку область целостности – коммутативное кольцо, то в нем понятия левого и правого делителя элемента совпадают и поэтому определение делителя формулируется так.

Определение 1. Если для элементов a и b области целостности К в К существует такой элемент с, что a=bc, то говорят, что а делится на b или b делит а, и пишут соответственно .

Из определения 1 вытекают следующие свойства делимости в области целостности:

1. .

2. .

3. .

4. /

□ 1. Пусть и . По определению 1 это значит, что существуют числа , такие, что . Подставляя значение из второго равенства в первое, получаем , где . А это означает, что .

2. Пусть и . Тогда , где . Складывая почленно эти равенства, получаем где

Но это по определению 1 означает, что .

Аналогично доказывается, что .

3. Пусть . Это значит, что a=bt, где . Умножив обе части этого равенства на с, получим , где .

Это значит, что

4. Свойство 4 непосредственно вытекает из свойств 2 и 3. ■

5. Каждый элемент делится на любой делитель единицы е области целостности К

□ Действительно, и, следовательно, . ■

6. Если делится на , то а делится и на , где – любой делитель единицы е.

□ Из равенства вытекает равенство и, следовательно, .■

7. Каждый из делителей одного из элементов а и а , где – любой делитель единицы, является и делителем и другого.

□ Пусть . Тогда имеет место равенство a=ct, где . Но тогда из равенства следует равенство , а из равенства следует равенство . Следовательно, если c/a, то c/a , и наоборот. Всюду дальше будем рассматривать элементы области целостности К, отличные от нуля. ■

Определение 2. Элементы а и области целостности К называются ассоциативными, если каждой их них является делителем другого:

(1)

Из равенства (1) вытекает, что . Отсюда, сократив обе части равенства на , получаем cd=1. Следовательно, с и d являются делителями единицы. Таким образом, если а и b ассоциативные элементы, то , где – некоторый делитель единицы. С другой стороны, какой бы мы не взяли делитель единицы , элементы а и a ассоциативные между собой, поскольку .

Определение 2^/. Элементы а и b области целостности называются ассоциированными, если , где – некоторый делитель единицы.

Пример. В кольце Z целых чисел ассоциативными являются каждые два числа m и -m, т.к. –m=m(-1), где -1 – делители единицы 1.

Если а и b – ассоциативные элементы, т.е. a=bc и b=ad, то и , следовательно . Таким образом, два ассоциированные элемента а и b порождают один и тот же главный идеал.

Пусть а и b – произвольные элементы области целостности К.

Определение 3. Элемент называется общим делителем элементов а и b, если каждый из этих элементов делится на с.

По свойству 5 все делители единицы е области целостности К являются общими делителями элементов а и b. Но у элементов а и b могут быть и другие общие делители, поэтому можно ввести понятия наибольшего общего делителя (НОД).

Определение 4. Наибольшим общим делителем элементов а и b области целостности К называется такой общий делитель этих элементов, который делится на любой другой их общий делитель.

Чтобы указать, что d является НОД элементов а и b, пишут d=(a, b).

Если также , то d и d^/ делятся друг на друга и, следовательно, они ассоциированные. С другой стороны, если d=(a,b) и – любой делитель единицы, то, очевидно d =(a,b).

Как видим, НОД элементов а и b определяется с точности до сомножителя , который является делителем единицы.

Определение 5. Элементы а и называются взаимно простыми, если они не имеют общих делителей, отличных от делителей единицы, т.е. если (a, b)=1.

Пусть – любой делитель единицы и а – произвольный элемент области целостности К. Тогда . Из этого равенства следует, что все элементы, ассоциированные с элементом а, и все делители единицы являются делителями элемента а. Их называют тривиальными или несобственными делителями элемента а. Все другие делители а, т.е. делители, отличные от a и , если такие существуют, называются нетривиальными или собственными. Например, в кольце целых чисел Z тривиальными делителями числа 12 являются числа и нетривиальными – числа .

Определение 6. Элемент называется неразложимым или простым, если он не является делителем единицы и не имеет нетривиальных делителей; элемент называется разложимым или составным, если он имеет нетривиальные делители.

Иначе говоря, элемент называется разложимым, если его можно записать в виде произведения двух нетривиальных делителей b и с; он называется нетривиальным, если его нельзя записать в виде произведения двух нетривиальных делителей, т.е. если из всегда вытекает, что один из сомножителей b и с является делителем единицы, а другой – ассоциированный с а.

Пример 1. Так, в кольце Z неразложимыми являются числа (т.е. числа простые и противоположные простым); все другие числа, отличные от , – разложимы.

Пример 2. В кольце целых гауссовых чисел Z[i] существуют такие разложения числа 5 на простые множители

т.е. в кольце Z[i] число 5 – составные.

Эти разложения по существу одинаковы, т.к. второе разложение получается из первого следующим образом: первый множитель умножается на обратимый элемент i, второй – на обратимый элемент i.

Пример 3. В кольце чисел вида , число 4 разлагается на множители следующим образом:

Можно доказать (докажите это!), что числа 2, , простые в , причем 2 и не являются ассоциативными. Значит, в кольце число 4 допускает два существенно различных разложения на простые множители.

Разобранные примеры показывают, что вопрос о разложении на простые множители произвольных числовых кольцах сложнее, чем в кольце Z целых чисел. Причиной этого является то, что произвольных числовых кольцах два элемента а и b могут не иметь наибольшего общего делителя. Оказывается, что с помощью теории идеалов можно выяснить, в каких кольцах имеет место одиночное разложение на простые множители.

Отметим некоторые свойства неразложимых элементов.

1. Если элемент неразложимый, то и любой ассоциированный с этим элементом pа также неразложимы

Это свойство вытекает из свойства 7 делимости элементов области целостности.

2. Если а– любой, а р – простой элемент из К, то или а делится на р, или а и р – взаимно простые.

□ Если (а,р)=d, то d, как делитель неразложимого элемента р, или является некоторым делителем единицы, или элементом вида p . В целом случае (a,p)=1, во втором – .■