5. Характеристика кольца с единицей

Выясним, какие идеалы есть в простейшем кольце – кольце целых чисел. Как известно, каждое целое число n порождает главный идеал (n)=Zn. Такими идеалами исчерпывается множество всех идеалов кольца Z, т.к. справедлива теорема.

Терема 9. Каждый идеал кольца целых чисел является главным идеалом.

□ Пусть J – некоторый идеал кольца Z. Если J – нулевой идеал, то J=(0). Если же в идеале J содержится целое число , то в нем содержится также и число –с. Одно из чисел с или –с – положительное, следовательно в J содержатся натуральные числа. Пусть а – наименьшее из натуральных чисел, содержащихся в J. Тогда , значит . Покажем, что и, наоборот,

Пусть b – произвольное число из идеала J. Разделив b на a, получим b=aq+r, .Т.к. a , b то и . Отсюда и из условия вытекает, что r=0, т.к. в противном случае а не было бы наименьшим среди натуральных чисел, содержащихся в J. Т. о., b=aq поэтому b , а следовательно и J . Но т.к. и J , то ■

Определение 7. Характеристикой кольца А с единицей е называется число О, если ne=0 только при n=0; характеристикой кольца А называется натуральное число р, если hl=0 и нет такого натурального числа m<p, что ml=0.

Пример 1. Все числовые кольца с единицей имеют, очевидно характеристику 1.

Пример 2. Каждое конечное кольцо А с единицей е является кольцом ненулевой характеристики. Действительно, если А – конечное кольцо, то среди всех целых положительных кратных единичного элемента е обязательно будут кратные, равные между собой, т.к. в противном случае кольцо А было бы бесконечным. Пусть kl=me, где k, m и m>k. Тогда (m-k)e и, значит, А является кольцом ненулевой характеристики.

Каждое натуральное число n является характеристикой некоторого кольца с единицей: n является характеристикой фактор – кольца Z/(n). Докажем теоремы, которые характеризуют свойства колец характеристики о и характеристики р.

Теорема 10. Если К является областью целостности, характеристики о, то

□Пусть а – произвольный, не равный нулю элемент из К и n – любое натуральное число. Тогда

Предположим, что na=0, тогда и a(ne)=0. Так как в К нет делителей нуля и по условию теоремы , то из равенства a(ne)=0 следует, что ne=0, чего быть не может. Следовательно предположение, что na=0, неверное. Т.о., для любого натурального n имеем . При любом целом отрицательном n также , ибо если элемент na кольца К был равен нулю 0, чего по доказанному выше быть не может. ■

Теорема 11. Если К – кольцо характеристики р, то .

□ . ■

6. Задачи и упражнения для самостоятельного выполнения

1. Пусть К произвольное кольцо, а – произвольно выбранный элемент кольца К. Докажите: 1) аК – правый идеал; 2) Ка – левый идеал; 3) – двусторонний идеал.

2. Пусть К – произвольное коммутативное кольцо, а – произвольный элемент этого кольца. Докажите, что – идеал кольца К.

3. Пуст К коммутативное кольцо, а – произвольный элемент этого кольца. Докажите, что – идеал кольца К.

4. Докажите, что операция пересечения идеалов кольца ассоциативна и коммутативна.

5. Докажите, что операция сложения подмножеств кольца -ассоциативна и коммутативна.

6. Докажите, что операция умножения подмножеств кольца ассоциативна, а если кольцо – коммутативное, то коммутативна тоже.

7. Найдите в кольце Z идеалы, порожденные следующими множествами элементов: {4; 6}, {2;5}, {6;15}. Найдите пересечение этих трех идеалов.

8. Можно ли отобразить гомоморфно поле на неизоморфное ему поле?

9. Всякий ли идеал может быть ядром гомоморфизма?

10. Какие кольца обладают полем отношений?

11. Напишите таблицы сложения и умножения для фактор – колец Z/(6), Z/(5).

12. В кольце целых гауссовых чисел Z[i] постройте идеал (i) и фактор – кольцо Z[i]/(i).

Лекция 5 Кольцо главных идеалов и евклидовы кольца

1. Делимость в области целостности.

2. Кольцо главных идеалов.

3. Евклидовы кольца.

4. Задачи и упражнения для самостоятельного выполнения.