4. Гомоморфизм колец. Теорема о гомоморфизмах

Нам известно, что между фактор - группами группы и ее гомоморфизмами существует тесная связь. Оказывается, что аналогичная связь существует и между фактор группами данного кольца и его гомоморфизмами. К выявлению этой связи и перейдем. Пусть К и К^/ – некоторые кольца.

Определение 5. Отображение кольца К в кольцо К^/ называется гомоморфным отображением К в К^/, или гомоморфизмом К в К^/, если выполняются условия:

1)

2)

Если – гомоморфное отображение К в К^/, то это обозначают .

Пример 1. Пусть С – кольцо всех комплексных чисел, С₂ – кольцо матриц 2-го порядка над полем комплексных чисел. Рассмотрим отображение , которое задано правилом:

Очевидно, что является отображением кольца с в кольцо С₂. Покажем, что удовлетворяет условиям 1 и 2 определения гомоморфизма.

Следовательно, является гомоморфизмом кольца С в кольцо С₂. этот гомоморфизм, как нетрудно видеть, является изоморфизмом.

Пример 2. Пусть К – множество всех матриц вида , где .

Докажите самостоятельно, что относительно сложения и умножения матриц множество К является кольцом. Зададим отображение кольца К в кольцо действительных чисел R так:

.

Очевидно, что является отображением К в R. Покажем, что отображение удовлетворяет требованиям определения гомоморфизма. Действительно,

Т.о., является гомоморфизмом кольца К в кольцо R.

Пример 3. Пусть К – некоторое кольцо и J – произвольный идеал этого кольца. Рассмотрим отображение кольца К в фактор – кольцо K/J, которое задается так: каждому элементу соответствует тот класс . Очевидно, что является отображением кольца К на кольцо K/J. Покажем, что удовлетворяет указанным в определении гомоморфизма условиям:

;

.

Следовательно, является гомоморфным отображением кольца К на фактор – кольцо K/J.

Отображение называется естественным или каноническим гомоморфизмом.

Теорема 6. Если является гомоморфизмом кольца К в кольцо К^/, то :

1)

2) ;

3) является подкольцом кольца К^/;

4) Если в кольце К есть единичный элемент е, то (е) – единичный элемент кольца , и если для элемента в кольце К существует обратный элемент а^-1, то элемент – обратный элемент кольца .

□ Справедливость утверждений 1 и 2 вытекает из ранее доказанных теорем, применяемых к аддитивной группе кольца К.

Докажем справедливость утверждения 3. По ранее доказанному является подгруппой аддитивной группы кольца К^/. Покажем, что множество замкнуто относительно операции умножения, определенной в кольце К^/.

Пусть , это значит, что где и Следовательно, является подкольцом кольца К^/. Справедливость утверждения 4 доказывается дословным повторением рассуждений, которые мы применяли, доказывая соответствующие утверждения для мультипликативных групп. ■

Определение 6. Пусть является гомоморфизмом кольца К в кольцо К^/. Множество U всех элементов кольца К, которые гомоморфизмом отображаются в О^/ кольца К^/, называется ядром гомоморфизмом и обозначается .

Теорема 7. Ядро всякого гомоморфизма кольца К в кольцо К^/ является идеалом кольца К.

□ По ранее доказанной теореме, примененной к аддитивной группе кольца К, является подгруппой аддитивной группы кольца К. Кроме того, для любого элемента и , т.к. для каждого и . Значит – идеал кольца К. ■

Теорема 8. (теорема о гомоморфизмах).

Если – гомоморфизм кольца К на кольцо К^/ и , то кольцо К^/ изоморфно фактор – кольцу К^//U, причем существует такой изоморфизм кольца К/U на кольцо К^/, что произведение естественного гомоморфизма на изоморфизм является гомоморфизмом .

□ Пусть r^/ – произвольно выбранный элемент из К^/ и r – некоторый элемент кольца К такой, что . Тогда

, т.к. , то С другой стороны, если при гомоморфизме отображается в r^/, т.е. , то , и поэтому , т.е. .

Следовательно множество всех элементов кольца К которые при гомоморфизме отображаются в элемент , является классом вычетов кольца к по модулю U, к которому принадлежит элемент r, т.е. классом .

Обозначим отображение, которое каждому классу вычетов ставит в соответствии , в который при гомоморфизме отображаются элементы класса , т.е. , где r – любой элемент из класса вычетов . Очевидно, что является отображение фактор – кольца K/U на кольцо K^/. Отображение является гомоморфным. Действительно, пусть , – произвольно выбранные элементы кольца K/U.

Тогда , и поэтому

Докажем, что – взаимнооднозначное отображение, т.е. если , то и . Предположив, что , получаем, что , т.е. поэтому и, значит, . Отсюда и . Следовательно, является изоморфным отображением K/U на K^/.

Рассмотрим теперь отображение . Поскольку – естественный гомоморфизм кольца К на фактор – кольцо K/U, а – изоморфизм кольца K/U на кольцо K^/, то является отображением K на K^/. Докажем, что = . Пусть r – произвольный элемент из К. По определению естественного гомоморфизма , и, по определению изоморфизма , . Значит, т.е. А это и значит, что . ■