4. Поле частных

Наиболее часто встречающейся областью целостности является кольцо целых чисел Z. Кольцо Z является подкольцом поля рациональных чисел Q. Встает вопрос: каждая ли область целостности является подкольцом некоторого поля. Ответ на этот вопрос дает теорема.

Теорема 4. Для каждой области целостности К существует поле Р, которое содержит как подкольцо область целостности К.

□ Пусть К – область целостности, причем . Пусть элементы a, b, c, … принадлежат К. Рассмотрим множество всех возможных пар (a, b), где , т.е. декартово произведение . Во множестве этих пар определим отношение :

.

Покажите, что – отношение эквивалентности.

Известно, что отношение эквивалентности определяет разбиение рассмотренного множества пар на классы эквивалентных между собой пар, которые будем называть классами эквивалентности . Обозначим множество всех классов эквивалентности Р, а классы эквивалентности обозначим

Каждую пару, входящую в данный класс эквивалентности , назовем представителем этого класса.

Определим теперь во множестве Р операции сложения и умножения. Пусть и – произвольно выбранные представители классов и .

Суммой классов и назовем класс эквивалентности, который содержит пару .

Произведением – класс эквивалентности, который содержит пару .

Операции сложения и умножения классов эквивалентности мы определили через операции над их представителями. Поэтому надо показать, что так определенные и классов не зависят от выбора представителей этих классов и, значит, определяются однозначно. Для этого докажем, что если

и , то и

В самом деле, .

Но .

Сложим почленно два последних равенства

.

А это значит, что и поэтому не зависят от выбора представителей классов.

Перемножим почленно равенства , получим . Значит, не зависят от выбора представителей из классов и .

Покажем теперь, что множество Р классов эквивалентности с определенными в нем операциями сложения и умножения является полем.

Проверкой доказывается, что сложение и умножение, определенные во множестве Р, ассоциативны, коммутативны и связаны дистрибутивным законом (Докажите!).

Среди классов множества Р есть, очевидно, класс, в который входит пара (0, с), где с – некоторый отличный от нуля элемент области целостности К. Этот класс состоит из пар вида (0, b), где и только из них. Обозначим этот класс О. Этот класс является нулевым элементом во множестве Р. Действительно, пусть – произвольный класс из Р и пусть его представителем является пара . Тогда представителем класса будет пара . Но т.к. , то . Следовательно, класс О является нулевым элементом в Р.

Для всякого класса есть противоположный класс - : если представителем класса является пара , то противоположным будет класс - , представителем которого является пара . Действительно, представителем класса является пара и, значит, . Т.о. мы доказали, что Р является коммутативным кольцом. В кольце Р есть отличные от нуля элементы: отличным от нулевого элемента является каждый класс эквивалентности , представителем которого является пара , где .

Докажем теперь, что в кольце Р выполнима операция деления, кроме деления на 0. Пусть – произвольный, – любой отличный от нуля элемент кольца Р и пусть представителями классов и является соответственно пары и . Т.к. , то . Класс , представителем которого является пара является частным от деления класса на класс , т.к. и поэтому .

Следовательно, множество Р с определенными на нем операциями сложения и умножения является полем.

Покажем теперь, что в поле Р содержится подкольцо К^/, изоморфное области целостности К. Пусть класс из поля Р, который содержит некоторую пару . Выясним из каких пар состоит класс . , т.к. .

Наоборот, если , то .

Отсюда следует, что класс состоит из всех пар вида , где . Обозначим К^/ всех тех и только тех классов поля Р, каждый из которых состоит из пар вида .

Каждому классу поставим в соответствии элемент области целостности К по правилу: если класс состоит из пар вида , то в К ему отвечает элемент а. Этим определяется взаимно однозначное отображение f множества К^/ на области целостности К.

Покажем, наконец, что отображение является изоморфизмом. Пусть ^* и – любые классы из К^/ и пусть . Тогда класс состоит из всех пар вида , а класс из всех пар вида . Тогда класс содержит пару вида , а класс – пару вида . Но т.к. и , то класс состоит из всех пар вида , а класс – из всех пар вида . Поэтому и .

Т.о., множество К^/ изоморфно области К и поэтому (по Т.2.) является подкольцом поля Р.

Т.к. К – область целостности, то и изоморфное ему кольцо К^/, как это можно показать (покажите!), также является областью целостности. Значит, в поле Р содержится, как подкольцо, область целостности К^/, изоморфная область целостности К. Но любые две изоморфные области целостности, с точки зрения определенных в них бинарных операций, неразличимы. Поэтому элементы области целостности К^/ можно отождествить с элементами области целостности К.

Посмотрим каково строение полученного поля Р.

Теорема 5. Каждый элемент поля Р равен частному некоторых двух элементов области целостности К.

□ Пусть – класс, который содержит пару , а и – классы, которые содержат соответственно пары и . По определению произведения классов класс содержит пару и следовательно пару , поскольку .

Поэтому . Отсюда . Но классы b и отождествляем с элементами a и b соответственно. Следовательно, . В частности, для имеем: , где m – любой отличный от нуля элемент области целостности К.■

Поле Р очевидно, содержит каждое частное , где а – произвольные, а b – любой отличный от нуля элемент области целостности К.

Определение 5. Поле Р, которое содержит область целостности К, каждой элемент которого может быть записан в виде частного некоторых двух элементов области целостности, называется полем частных (или полем отношений) области целостности К.