2. Фактор – группы

Пусть Н произвольный нормальный делитель группы G. Т.к. каждый левый смежный класс gH группы G по нормальному делителю Н является одновременно правым смежным классом Hg и наоборот, то будем дальше говорить просто о смежных классах G по Н. Смежный класс gH, порожденный элементом g, будем обозначать . Приходя из принятия произведения подмножеств группы, определим в множестве смежных классов группы G по нормальному делителю Н операцию умножения.

Пусть – два произвольных смежных класса. Рассмотрим произведение этих смежных классов как подмножество группы G . Т.к. умножение подмножеств ассоциативно и НН=Н, то

, т.е.

(3)

Следовательно, произведением двух смежных классов G по Н как подмножество группы G является смежным классом G по Н. Этим во множестве смежных классов группы G по нормальному делителю Н определена операция умножения.

Равенство (3) показывает, что для нахождения произведения двух смежных классов G по Н надо в каждом из этих смежных классов выбрать по одному представителю и потом взять тот смежный класс, к которому принадлежит произведение выбранных представителей.

Теорема 3. Множество смежных классов группы G по нормальному делителю Н с определенной в нем операцией умножения является группой. Она называется фактор – группой группы G нормальному делителю Н и обозначается G/H.

□ Действительно, операция умножения смежных классов ассоциативна – это вытекает из ассоциативности умножения подмножеств группы. Смежный класс играет роль единичного элемента: для произвольного смежного класса справедливы равенства

,

т.е. .

Для каждого смежного класса существует обратный смежный класс:

Аналогично, ■

Пример 1. Пусть G – аддитивная группа целых чисел , Н_k={k} – подгруппа целых чисел, кратных целому числу k.

Фактор – группа n-й степени фактор – группа G/H_k состоит смежных классов:

Пример 2. Пусть S_n– симметрическая группа n –й степени, А_n знакопеременная группа n –й степени. Фактор - группа S_n/A_n состоит из двух смежных классов: множества четных подстановок A_n и множество нечетных подстановок B_n.

Пример 3. Пусть – группа невырожденных матриц над полем R, – подгруппа матриц, определитель каждой из которых равен 1. Фактор – группа R_n/H_n состоит из смежных классов, каждый из которых содержит все матрицы, определители которых равны данному числу а.

Рассмотрим несколько утверждений о простейших свойствах фактор – групп.

Терема 4. Каждая фактор – группа G/H абелевой группы G также абелева.

□ Так как

■

Теорема 5. Каждая фактор – группа G/H циклической группы также циклическая группа.

□ Пусть G – циклическая группа, порожденная элементом G =(g), H некоторая подгруппа группы G и aH произвольно выбранный элемент фактор – группы G/H . Тогда существует целое число m такое, что a=g^m и поэтому Значит .■

Теорема 6. Порядок произведения фактор – группы G/H конечной группы G является делителем порядка этой группы.

□ Действительно, порядок S фактор – группы G/H равен индексу нормального делителя Н в группе G и поэтому по равенству n=ks, доказанному ранее, является делителем порядка группы G.■