6. Задачи и упражнения для самостоятельного выполнения
Докажите, что каждую подстановку n-й степени можно представить в виде произведения нескольких транспозиций.
Докажите, что во всех записях данной подстановки в виде произведения транспозиций четность числа транспозиций будем та же самая: она совпадает с четностью подстановки.
Докажите, что множество всех четных подстановок n-й степени является мультипликативной группой.
Лекция 2
Нормальные делители. Фактор - группы.
Гомоморфизмы.
Нормальные делители.
Фактор – группы.
Гомоморфизмы групп.
Задачи и упражнения для самостоятельного выполнения.
1. Нормальные делители
Группы могут иметь подгруппы, левосторонние и правосторонние разложения по которым существенно отличаются, а также и подгруппы, по которым эти разложения совпадают. Подгруппы, по которым левосторонние и правосторонние разложения совпадают, играют очень важную роль в теории групп.
Определение 1. Подгруппы Н группы G называется нормальным делителем этой группы или инвариантной подгруппой, если левостороннее и правостороннее разложение группы G по подгруппе Н совпадают.
Очевидно, что
подгруппа Н является нормальным
делителем группы G
тогда и только тогда, когда левый смежный
класс gH группы G
по подгруппе Н, порожденный любым
элементом
,
совпадает с ее правым смежным классом
gH, совпадающим g.
Поэтому понятие нормального делителя
можно определить так.
Определение
2. Группа Н группы G
является нормальным делителем этой
группы, если
.
Условие
,
очевидно означает, что
(1)
Пример 1. В любой группе G сама группа G и единичная подгруппа Е являются ее нормальными делителями: левостороннее и правостороннее разложение G по G состоит из одного смежного класса G, а левостороннее и правостороннее разложение G по Е состоит из всех элементов группы G.
Пример 2.
В каждой абелевой группе любая ее
подгруппа является нормальным делителем,
т.к. для любого элемента g
G
gH=Hg.
В частности, мультипликативная группа
положительных действительных чисел
является нормальным делителем
мультипликативной группы всех отличных
от нуля действительных чисел
;
мультипликативная группа
всех отличных от нуля рациональных
чисел является нормальным делителем
мультипликативной группы
всех отличных от нуля действительных
чисел.
Пример 3. Докажите, что в мультипликативной группе Rn невырожденных матриц n-го порядка с элементами из поля R подгруппа Нn матриц, определитель каждой из которых равен 1, является нормальным делителем.
Примеры 4. Докажите, что в симметричной группе Sn знакопеременная группа An является нормальным делителем.
Теорема 1. Подгруппа Н группы G является ее нормальным делителем тогда и только тогда, когда
(2)
□ 1) Докажите
необходимость условия. Пусть Н –
нормальный делитель группы G.
Тогда в силу равенств (1)
.
Следовательно,
,
т.е.
.
2) Докажем
достаточность условий. Предположим,
что
.
Тогда
,
т.е.
и, следовательно, по определению 2, Н
является нормальным делителем G.
■
Элементы а и
b группы G
называются сопряженными в этой
группе, если в G
существует, по крайней мере, один такой
элемент g, что
Условие (2), т.о., означает, что подгруппа
Н вместе с каждым своим элементом
h содержит и все
элементы, сопряженные с ним в группе.
Условие (2) часто принимают за определение
нормального делителя.
Определение 3. Подгруппа Н группы G называется нормальным делителем этой группа, если она вместе с каждым своим элементом h содержит и все элементы, сопряженные с ним в G. Используя это определение, легко доказать теорему.
Теорема 2. Пересечение любого множества нормальных делителей группы G является нормальным делителем этой группы.
□ Пусть
Д
– пересечение некоторого множества
нормальных делителей группы G.
Д есть подгруппа G,
как пересечение подгрупп этой группы.
Если
,
то а содержится
во всех нормальных делителях, пересечением
которых является Д.
Поэтому, каждый элемент, сопряженный с
а
в G,
также содержится во всех этих нормальных
делителях, а, значит он содержится в их
пересечении Д.
■