1. Цели и задачи дисциплины, место в учебном процессе, требования к уровню содержания дисциплины.

1) Цель изучения дисциплины – воспитание теоретико-числовой и алгебраической культуры – важнейшей части математической культуры, необходимой для глубокого понимания будущим учителем математики всей математической науки, а также глубокого понимания целей и задач как основного школьного курса математики, так и школьных активных курсов.

2) Задачи дисциплины:

* овладение студентами алгебраическим языком;

* систематическое изучение наиболее важных типов алгебраических систем, в частности, групп, колец, полей;

* рассмотрение одного из важнейших примеров кольца – кольца многочленов от одной переменной, выяснение его важнейших свойств;

* изучение особенностей многочленов (с точки зрения существования и видов корней) над конкретными числовыми полями (действительных, комплексных и рациональных чисел);

* решение проблемы существования корней многочленов над полем;

* знакомство с решением проблемы разрешимости уравнений в радикалах;

* овладение алгебраической терминологией и аналитическими умениями, развитие научного мышления и учебно-научной речи студентов;

* приобретение навыков работы с учебной и научной литературой.

3) Требования к уровню подготовки студента, завершившего изучение данной дисциплины.

Студенты после изучения данной дисциплины должны:

иметь представление:

• об истории алгебраической науки, в частности, вопросов, изучаемых в настоящем курсе;

• о методах дедуктивной математической теории;

• о методах формального мышления на языке алгебры;

• о методах изучения основных алгебраических систем;

• о разных подходах к изучению основных алгебраических систем;

знать:

• понятие группы и подгруппы;

• понятие класса смежности по подгруппе данной группы;

• понятие факторгруппы, циклической группы и их строение;

• понятие кольца, области целостности, подкольца;

• понятие идеала, главного идеала кольца и факторкольцо;

• понятие евклидова кольца и его свойства;

• гомоморфизм и изоморфизм групп и колец;

• понятие многочлена над кольцом К;

• теорему о делении с остатком в кольце многочленов над полем;

• основную теорему алгебры (без доказательства), следствия и приложения ее;

• понятие поля рациональных дробей;

уметь:

• проводить доказательства утверждений методом математической индукции;

• проверять возможные свойства алгебраической операции, алгебраической системы (группы, кольца, поля) и их таблиц Кэли, а также проверять гомоморфность (изоморфность) конкретного отображения систем;

• проверять алгебраичность и трансцендентность некоторых вещественных чисел;

• уметь освобождаться от алгебраической иррациональности в знаменателе дроби;

• уметь находить рациональные корни многочлена.

4) Связь с дисциплинами (междисциплинарные связи)

Курс алгебры педагогического вуза представляет собой далеко идущее, но вполне естественное обобщение основного содержания школьного курса элементарной алгебры. Центральным в школьном курсе алгебры является вопрос о решении уравнений и их систем. Этот вопрос получает дальнейшее развитие в настоящем курсе.

Кроме того, при изучении темы «Алгебраические расширения числовых полей» есть необходимость в реализации межпредметных связей с функциональным анализом (ТФДП и ТФКП), где изучаются бесконечномерные пространства.

Алгебра многочленов получает дальнейшее развитие в некоторых разделах теории функций комплексного переменного. К алгебраической геометрии можно отнести вопрос о системах уравнений от нескольких переменных, не линейных, а произвольных степеней. Теория полей связана с теорией чисел и с теорией функций комплексного переменного. Теория колец связана, в частности, с функциональным анализом и физикой. Теория групп играет большую роль в теории Галуа, в вопросе разрешимости уравнений в радикалах. Группы являются важным орудием в теории полей, во многих разделах геометрии, в топологии, а также вне математики – в кристаллографии, в теоретической физике. Теория структур имеет связи с теорией групп и колец, а также с теорией множеств; проективная геометрия является, по существу, частью теории структур, выходит теория структур и в теорию электрических цепей.