4. Циклические группы

Определение 6. Группа G называется циклической, если она состоит из степеней одного из своих элементов а, т.е. совпадает с одной из своих циклических подгрупп (а).

Элемент а называется образующим элементом циклической группы (а). Каждая циклическая группа абелева, т.к.

Пример 1. – бесконечно циклическая группа. Её образующий элемент – число 1. Образующим элементом этой группы является, очевидно, n-1.

Пример 2. Мультипликативная группа n-й степени из 1 является циклической группой порядка n. Действительно, корни n-й степени из 1 находятся по формуле:

По формуле Муавра

Т.о. каждый корень n-й степени из 1 является определенной степенью корня ₁ и, следовательно, группа n-й степени из 1 является циклической группой ( ₁), образующим элементом которой является

.

Теорема 7. Каждая бесконечная циклическая группа изоморфизма аддитивной группы целых чисел Z.

□ Пусть G=(a) – произвольная циклическая бесконечная группа с образующим элементом а. Каждому элементу а^k группы G поставим в соответствие элемента R Z. Этим, очевидно, будет задано взаимно однозначное отображение G на Z. Это отображение является изоморфизмом, т.к. из а^k и а^s S следует, что ■

Теорема 8. Каждая циклическая группа порядка n изоморфна мультипликативной группе корней n-й степени из 1.

□ Пусть G = (a) – произвольная циклическая группа порядка n с образующим элементом а. Она состоит из следующих элементов: Мультипликативная группа корней n - й степени из 1 состоит из корней

.

Рассмотрим отображение f, заданное по правилу . Очевидно, что из следует, что ■

Из теоремы 7 и 8 следует, что аддитивной группой целых чисел и мультипликативной группой корней n-й степени из 1 по существу исчерпываются все циклические группы.

Теорема 9. Каждая группа циклической группы сама циклическая.

□ Пусть G = (a) – произвольно циклическая группы и H – некоторая ее подгруппа. Будем считать, что Н отлична от единичной подгруппы Е, в противном случае не надо доказывать, что она циклическая.

Среди положительных степеней элемента а, которые содержатся в Н, существует наименьшая, т.к. в произвольном множестве натуральных чисел всегда есть наименьшее. Пусть этой наименьшей положительной степенью является а^к. Покажем, что если , то l делится на k. Действительно, Если r>0, то в подгруппе Н содержится элемент , т.е. содержится положительная степень элемента а, меньшая чем а^k, что противоречит нашему предположению. Следовательно, r=0 и k делится на k.■

5. Разложение группы по подгруппе

Пусть даны группа G и подмножества А и В этой группы. Совокупность всех элементов из G, каждый из которых можно записать в виде некоторого элемента из А на некоторый элемент из В, называется произведением множества А на множество В и обозначается АВ.

Если, например, множество А состоит только из одного элемента а, то речь идет о произведении аА элемента а на множество А.

Из ассоциативности умножения в группе G вытекает ассоциативность умножения подмножеств этой группы:

Очевидно, если H – подгруппа группы G, то НН=Н.

Покажем это. Для любых а,b имеем и значит . С другой стороны , поскольку Н = Не. Значит, НН=Н.

Пусть Н – произвольная подгруппа группы G. Используем эту подгруппу для введения на множестве G бинарное отношение , считая, что , где а, b – произвольные элементы множества G.

Очевидно, что условие, а есть то же самое, что и , где h некоторый элемент подгруппы Н.

Покажем, что является отношением эквивалентности.

1)

2) ;

3)

Отношение задает разбиение группы G на классы эквивалентных элементов. Выясним, что представляют собой эти классы эквивалентности. Если H = G, то разбиение состоит только из одного класса, т.к. и, следовательно, Если то является обычным равенством и поэтому каждый элемент группы G составляет класс разбиения. Если Н – подгруппа отличная от Е и G и если В_i – один из классов разбиения, и пусть g . Тогда , где , принадлежит , т.к. . Наоборот, если b , то , поэтому , . Следовательно, Т.о., мы доказали, что каждый класс разбиения группы G по отношению , когда является произведением gH произвольного элемента g этого класса на подгруппу Н. Эти классы разбиения называют левыми смежными классами группы G по подгруппе Н, а само разбиение называют левосторонним разложением G по Н. О смежном классе В_i = gH говорят, что он порождается элементом g.

Если группа G конечная, то левостороннее разложение G по Н записывают так:

, где знаки + и обозначают объединение множеств, которые не пересекаются, – левых смежных классов.

На множестве элементов группы G можно ввести отношение эквивалентности

В этом случае приходим к понятию правого смежного класса Hg группы G по подгруппе Н, порожденного элементом g и k правостороннему разложению G по Н.

Возникает вопрос: левостороннее и правостороннее разложения G по Н – это различные разбиения разложения или нет? Если группа G – абелева, то, очевидно, левостороннее и правостороннее разложения G по Н совпадают, т.к. gH=Hg для Для неабелевой группы разложения по одной группе могут совпадать, а по другой могут оказаться различными.

Пример1. . G – абелева группа. Левостороннее и правостороннее разложение этой группы по подгруппе Н совпадают. Каждое из этих разложений состоит из k различных смежных классов, которые порождаются соответственно числами 0,1,2,3,…,k-1. Левосторонний смежный класс, порожденный элементом l имеет вид l+H, а правосторонний – H+l.

Пусть G – группа невырожденных квадратных матриц n-го порядка над полем R, H – подгруппа, состоящая из всех матриц n-го порядка, определитель каждой из которых равен 1. Множество всех матриц с равными определителями составляет левый (а также и правый) смежный класс. В самом деле, если т.е. , где , то т.е. . Наоборот, если , то т.к. поэтому

Сгруппировав в один смежный класс (левый и правый) все матрицы с равными определителями, получим разложение (левое и правое) группы G по подгруппе Н.

Пример 3. G=S₃

Подмножество Н={E,A} группы G является подгруппой этой группы (докажите это). Левые смежные группы S₃ по подгруппе Н следующие: Видим, что левые и правые смежные классы различны. Значит, различны и левостороннее и правостороннее разложения S₃ по Н.

Для конечных групп справедливо утверждение.

Теорема 10. (Теорема Лагранжа) В каждой конечной группе порядок ее подгруппы является делителем порядка группы.

□ Пусть G – конечная группа порядка n, Н – некоторая ее подгруппа порядка k. Рассмотрим левостороннее разложение группы G по подгруппе Н. Предположим, что оно состоит из S смежных классов.

(6)

Подгруппа Н состоит из k элементов, а поэтому и каждый смежный класс также состоит из k элементов, т.к. если где , то

Следовательно, из разложения (6) вытекает, что n=ks. ■

Следствие 1. Порядок каждого элемента а конечной группы G является делителем порядка группы.

Следствие 2. Каждая конечная группа, порядок которой является простым числом, является циклической группой (докажите эти следствия самостоятельно).