3. Подгруппы

Пусть дана группа G и некоторое подмножество Н этой группы.

Определение 4. Подмножество Н называется подгруппой группы G, если оно является группой относительно бинарной операции, определенной в G.

Теорема 5. Для того, чтобы подмножество Н группы G было подгруппой этой группы, необходимо и достаточно, чтобы оно вместе с произвольными своими элементами а и в содержало бы и их произведение ав и вместе с каждым элементом а содержало бы также и обратный ему элемент а^-1.

Эта теорема была доказана на первом курсе.

Каждая мультипликативная группа G, очевидно, имеет такие тривиальные подгруппы: саму группу G и так называемую единичную подгруппу, которая состоит только из единичного элемента 1. Но, конечно, в группе могут быть и другие подгруппы. Например, мультипликативная группа положительных рациональных чисел Q⁺ являются подгруппами мультипликативной группы всех отличных от нуля рациональных чисел.

Важным примером подгрупп являются так называемые циклические группы.

Пусть G – некоторая группа и а – произвольный элемент этой группы. Обозначим символом (а) подмножество G, которое состоит из всех степеней элемента а. Покажем, что подмножество (а) является подгруппой группы G. Действительно, произведение произвольных двух элементов а^m и аⁿ (a) содержится в (а), т.к. . В (а) содержится также элемент 1=а⁰. вместе с всяким своим элементом aⁿ подмножество (а) содержит и обратный ему элемент а^-n.

Определение 5. Подгруппа (а), состоящая из всех степеней элемента а, называется циклической подгруппой группы G, порожденной элементом а.

Заметим, что могут быть два случая: 1) все степени элемента а являются различными элементами группы G, в этом случае а называют элементом бесконечного порядка; 2) среди степеней элемента а есть равные между собой, например, а^l=a^s, где l s. Это всегда будет так, если группа G конечна, но может случиться и в бесконечной группе. Рассмотрим второй случай подробнее. Итак, пусть а^l=a^s, где s l. Тогда а^s-l=1, т.е. существуют положительные степени элемента а, которые равны 1. Пусть среди всех положительных степеней элемента а, которые равны 1, аⁿ является наименьшей, т.е.

1)

2) если то

В этом случае элемент а называется элементом конечного порядка, а именно порядка n.

Если а является элементом n-го порядка, то порожденная им циклическая группа (а) состоит из следующих элементов:

(4)

Действительно, все элементы различны, ибо если бы а^l=a^s, , то а^s-l=1 а – элемент порядка s-l<n.

С другой стороны, любая другая степень элемента а, положительная или отрицательная, равна одному из элементов (4).

В самом деле, если k – некоторое целое число, то (5) и поэтому

Отсюда следует, что если а^k=1, то в равенстве (5) r=0, т.е. k делится на n, т.к. в противном случае а было бы элементом порядка r<n. Множество (4) состоит из n элементов; значит, порядок циклической подгруппы (а) равен порядку элемента а, порождающему эту подгруппу.

В каждой группе G есть единственный элемент первого порядка – это 1. Циклическая группа (1) совпадает с единичной подгруппой.

Теорема 6. Если Н и F – подгруппы группы G, то их пересечение также является подгруппой этой группы.

□ Действительно, если элементы а и в принадлежат , то они содержатся в каждой из подгрупп H и F. Значит и элементы ав и а^-1 содержатся в каждой из этих подгрупп, а поэтому ав и а^-1 содержатся и в пересечении .

Следовательно, по теореме 5 является подгруппой G.■

Доказанная теорема распространяется на любое число (конечное или бесконечное) подгрупп группы G.