Неоптическая голография
Основной принцип неоптической голографии заключается в замене используемого излучения с видимого света на другой – например, радиоволны или ультразвук. Самое большое развитие неоптическая голография получила с использованием электромагнитных волн диапазона СВЧ.
Основной проблемой неоптической голографии является восстановление оптического изображения. Для этой цели изначально использовали масштабирование снятых голограмм с тем, чтобы их можно было восстанавливать в длинах волн оптического диапазона, как и обычные голограммы. Конечно, при этом интерференционная картина используемого при формировании поля должна быть представлена в виде распределения яркости или прозрачности.
Другой проблемой является собственно регистрация интерференционной картины. Энергия отдельных фотонов в волнах СВЧ диапазона слишком мала, чтобы вызвать какие-либо химические реакции, как это происходит на обычной фотопленке. Поэтому наиболее распространенный способ регистрации микроволновых голограмм – по локальному разогреву, возникающему в местах наибольшей интенсивности интерференционной картины. Регистрация при этом производится при помощи специальной фотопленки, меняющей прозрачность при нагревании, при помощи жидких кристаллов (цвет и поляризационные свойства их зависят от температуры), тонкие полимерные пленки, приорбретающие рельеф при локальном разогреве и т.п.
По мере развития аппаратуры для излучения и регистрации радиоволн СВЧ диапазона начали использовать нефизическую регистрацию. В этом случае регистрация выполняется не непрерывной средой, а перемещающеся антенной. Антенна последовательно сканирует область пространства, в которой требуется зарегрстрировать интерференционную картину, а приемник, подключенный к антенне, регистрирует интенсивность поля при нахождении антенны в той или иной точке.
Данный метод не требует физической среды для регистрации и обеспечивает более высокую точность, однако требует гораздо больше времени на регистрацию картины. Для уменьшения времени регистрации используют несколько антенн и приемных каналов.
Следующим шагом явился отказ от формирования интерфенционной картины в пространстве. Опорный сигнал подавался непосредственно в приемный тракт, подмешиваясь к сигналу приемной антенны. Таким образом из системы исключалась одна облучающая антенна для опорной волны.
Развитием этого метода стал полный отказ от подмешивания опорной волны для регистрации фазы. Фаза при этом измеряется при сравнении сигнала, подаваемого в облучающую антенну, с сигналом, поданным в приемную.
Математический аппарат решения задач восстановления и реконструкции изображений
Дельта-функция
Вытекающее из классической математики представление о непрерывной среде или непрерывном поле долгое время являлось тормозом при формулировке принципов математической физики. Классическая математика не в состоянии описать такие объекты как точечная масса, точечный заряд, точечный отражатель, точечный источник и другие подобные им, которые широко используются при решении многих физических задач. Противоречие между потребностями физики и уровнем развития математики привело, в свое время, к возникновению нового раздела математики – теории распределений или теории обобщенных функций. Мы не будем заниматься теорией обобщенных функций как таковой, а рассмотрим только одну функцию из этого класса, а именно дельта-функцию. Это функция часто используется не только при решении физических задач, но и задач связанных с радиоэлектроникой и обработкой сигналов.
По определению любая функция,
для которой выполняется равенство
называется дельта-функцией. Функция
,
входящая в данное равенство, должна
быть непрерывной функцией.
Рассмотрим задачу, решение которой приводит к дельта-функции:
Рисунок 0‑1 – Задача с решением в виде дельта-функции
Пусть в точке
числовой
оси помещена масса, равная 1. Обозначим
через
массу отрезка длиной
с центром в точке
.
Очевидно, что эта масса равна 1, если
отрезок
содержит точку
и н улю в противном случае. Т.е.
.
Обозначим как
среднюю плотность распределения массы
на отрезке
.
Очевидно, что
Покажем, что при
функция
стремится к дельта-функции. Для этого,
исходя из определения дельта-функции,
достаточно показать, что выполняется
следующее равенство
.
Рассмотрим разность между правой и
левой частями равенства . Для
доказательства необходимо показать,
что эта разность тождественна равна
нулю. Подставим выражения и в
соотношение . Учитывая, что функция
равна нулю при
и равна
в противном случае, можно от бесконечных
пределов интегрирования перейти к
конечным:
.
На на интервале
будет существовать как минимум одна
точка
,
в которой функция
принимает максимальное значение. В этом
случае можно записать, что
,
и следовательно
.
При
стремится к 0 так как
.
А так как
- непрерывная функция, то
.
В результате получаем
.
Таким образом
.
Что и требовалось доказать.
Мы рассмотрели один из примеров представления дельта-функции как предела. Существуют и другие предельные переходы, приводящие к дельта-функции. Особый интерес для нас представляет следующий предельный переход
Следствием этого выражения является тождество
Доказательство этого тождества приведено ниже.
.
Данное тождество будет необходимо нам при рассмотрении ряда вопросов в более поздних лекциях этого курса.