34. Двойной физический смысл пространственной частоты

Пространственные частоты как аргументы в преобразовании Фурье

Обратимся еще раз к выражениям и . Они представляют собой двухмерные прямое и обратное преобразования Фурье, связывающие между собой пространственное распределение комплексной амплитуды поля в сечении z = 0 и функцию .

Хорошо известная из теории колебаний пара преобразований Фурье связывает между собой временное представление сигнала – зависимость сигнала от времени –, и спектр сигнала, характеризующий распределение гармонических составляющих сигнала по частотам. При этом в преобразованиях участвует пара переменных t и , по размерности обратных друг другу.

В нашем случае аналогичным образом связывается зависимость комплексной амплитуды от пространственных координат (x, y) и зависимость некоторой функции от пары величин (u₁, u₂), обратных по размерности единице длины. Таким образом, величины u₁, u₂ несут смысл пространственных частот, а функция называется пространственным спектром поля.

Физический смысл пространственного спектра аналогичен смыслу для частотного спектра сигнала – пространственный спектр описывает распределение различных составляющих пространственной функции (в нашем случае такой функцией является распределение комплексной амплитуды). Однако в отличие от частотного спектра, где каждой составляющей соответствует гармоническое колебание, в пространственном спектре составляющими являются функции вида , представляющие собой обобщение гармонических составляющих на двухмерный случай.

Пространственные частоты как характеристики направления распространения волны

Однако, кроме пространственных частот, переменные u₁ и u₂ несут и другой смысл. Вспомним, что эти переменные определяют углы распространения каждой плоской волны, из которых состоит результирующее монохроматическое поле, а функция определяет комплексную амплитуду этой волны. В связи с этим функцию называют также угловым спектром поля, подчеркивая, что она описывает разложение произвольного монохроматического поля по плоским волнам, распространяющихся под различными углами.

В этом и проявляется двойственность переменных u₁ и u_2­ – с одной стороны, это пространственные частоты, по которым раскладывается в спектр пространственное распределение комплексной амплитуды поля в сечении z = 0, а с другой ­­­– u₁ и u₂ являются величинами, определяющими направление распространения плоских волн, из которых состоит рассматриваемая произвольная монохроматическая волна.

Связь между пространственными частотами и углами распространения волны

Всегда можно найти количественное соотношение между значениями пространственной частоты и углами распространения плоской волны. Эти соотношения отображены на рис. 1:

.

Принципиально следует отметить, что пространственный спектр распределения комплексной амплитуды не зависит от длины волны, поскольку определяется самим этим распределением. В то же время угол распространения волны, соответствующий одной и той же пространственной частоте, меняется в зависимости от длины волны. Для угла  из можно получить, что . Выражение для угла  несколько сложнее, однако основные свойства углового спектра можно показать на примере угла .

Понятно, что ; это означает, что угловой спектр поля по углу  сосредоточен в диапазоне . То есть, пространственной частоте u₁ = –k соответствует плоская волна, распространяющаяся под углом к плоскости z = 0, а пространственной частоте u₁ = k – волна, распространяющаяся под углом . Все остальные значения соответствуют плоским волнам, распространяющимся под острыми углами к плоскости z = 0. В то же время в пространственном спектре распределения комплексной амплитуды поля могут быть составляющие на частотах u₁, не принадлежащих интервалу . Эти частоты соответствуют затухающим неоднородным волнам.

В случае, если распределение комплексной амплитуды поля таково, что пространственный спектр сосредоточен в области частот , то угловой спектр поля повторяет форму пространственного спектра комплексной амплитуды, а результирующая волна состоит целиком из плоских волн. В противном случае угловой спектр представляет лишь часть пространственного спектра поля, а в представлении результирующей волны будут присутствовать неоднородные волны.

Эти случаи представлены на рисунке 2. Пусть для монохроматических полей различных частот, которым соответствуют волновые числа k₁ и k₂, k₁ > k₂, имеются одинаковые распределения комплексных амплитуды в некоторой плоскости (опустим, как физически можно получить такие распределения). Пространственный спектр этих распределений по частоте u₁ показан на рисунке 2а.

На этом рисунке на оси пространственных частот отмечены значения волновых чисел k₁ и k₂, соответствующие двух частотам полей. Видно, что для поля большей частоты, которому соответствует большее волновое число k₁, пространственный спектр распределения комплексных амплитуд сосредоточен в области . Это означает, что угловой спектр поля по форме будет повторять пространственный спектр (рисунок 2б), а в разложении поля по плоским волнам не будет неоднородных волн.

В то же время для поля меньшей частоты (поле с волновым числом k₂) точно такой же пространственный спектр распределения комплексных амплитуд приведет к тому, что лишь небольшая часть пространственного спектра, заключенная в интервале пространственных частот , будет формировать угловой спектр поля (рисунок 2б). Амплитуды и фазы плоских волны, участвующих в разложении такого поля, описываются этой небольшой частью пространственного спектра. Остальная часть пространственного спектра описывает неоднородные волны, присутствующие в разложении поля.

а)

б)

в)

Рисунок 0.2 – Связь пространственного и углового спектра