- •Основные понятия курса. Оптическая и неоптическая голография
- •Что такое изображение
- •Методы восстановления изображений
- •Методы реконструкции изображений
- •Другие методы цифровой обработки изображений
- •Оптическая голография. Регистрация интерференционной картины.
- •Оптическая схема получения голограммы.
- •Неоптическая голография
- •Математический аппарат решения задач восстановления и реконструкции изображений
- •Дельта-функция
- •Свойства дельта-функции
- •Преобразование Фурье. Теорема о свёртке
- •Линейные системы. Импульсный отклик линейной системы
- •Прямые и обратные задачи. Уравнение Фредгольма
- •Решение уравнения типа свёртки. Частотная характеристика
- •Корректность решения обратной задачи. Существования решения
- •Единственность решения на примере уравнения типа свертки
- •Устойчивость решения
- •Регуляризация решени обратных задач
- •Регуляризация решения. Метод регуляризации Тихонова
- •Регуляризация решения уравнения типа свертки
- •Фильтр Тихонова. Невязка
- •Оптимальный фильтр Винера
- •Управляемая линейная фильтрация. Фильтр Бэйкуса-Гильберта
- •Гомоморфная фильтрация
- •Метод неопределенных коэффициентов
- •Пример решения обратной задачи
- •Коррекция искажений, вызванных равномерным прямолинейным движением объекта
- •Коррекция искажений, вызванных равномерным прямолинейным движением объекта. Учет граничных условий
- •Разрешающая способность систем формирования изображений
- •Понятие о разрешающей способности
- •Теоретическая оценка разрешающей способности на примере анализатора спектра
- •Представление Релея для монохроматических волн
- •Представление Релея для немонохроматических волн
- •Двойной физический смысл пространственной частоты
- •Частотная характеристика свободного пространства
- •Угловой спектр сферической волны
- •Импульсный отклик свободного пространства
- •Восстановление радиоголографических изображений
- •Алгоритм восстановления изображений в частотной области
- •Восстановление изображений в приближении Френеля
- •Азимутальное разрешение радиоголографической системы
- •Синтез апертуры сканированием одной антенной
- •Синтез апертуры сканирования двумя антеннами
- •Синтез радиоголограмм динамических объектов
- •Разрешающая способность в радиальном направлении
- •Многочастотная голография
- •Основы томографии
- •Прохождение плоскопараллельного пучка через среду с поглощением
- •Преобразование Радона
- •Преобразование Радона точечного объекта
- •Теорема о центральном сечении
- •Обратное преобразование Радона
- •Алгоритм обратного проецирования
- •Вычисление обратного преобразования Радона
- •Итерационные алгоритмы решения обратных задач
- •Понятие об итерационных алгоритмах решения обратных задач
- •Итерационные алгоритмы с ограничениями
- •Итерационное уравнение
- •Ряд Неймана
- •Итерационный оператор для уравнения типа свертки
Решение уравнения типа свёртки. Частотная характеристика
Запишем уравнение Фредгольма 1-го рода с разностным ядром.
Очевидно, что по форме записи это уравнение является свёрткой функций и . Применим к этому уравнению теорему о свёртке и запишем
где , и спектры, соответственно, функций , и .
В уравнении (10.1) неизвестной функцией является функция . Из уравнения (10.2) легко определяется спектр этой функции
.
Выполнив обратное преобразование Фурье, найдём решение
.
Функция в теории линейных систем называется частотной характеристикой. Частотная характеристика и импульсный отклик связаны между собой преобразованием Фурье. Т.е.
.
И в свою очередь
Последнее выражение даёт способ экспериментального определения импульсного отклика той или иной реально существующей линейной системы.
По определению импульсный отклик это реакция системы на входное воздействие в виде дельта-функции. Следуя этому определению для оценки импульсного отклика системы необходимо на её вход подать очень короткий импульс высокого напряжения или тока и измерить зависимость выходного сигнала от времени. Причём, для сохранения энергии импульса с уменьшением его длительности необходимо увеличивать величину напряжения или тока.
При этом возникают две проблемы. Первая, на практике можно сформировать импульс только конечной длительности, в то время как теоретически необходимо устремить длительность импульса к нулю. Вторая проблема заключается в том, что при высоком уровне входного сигнала, а он необходим для сохранения энергии импульса, входные цепи исследуемой системы могут быть просто разрушены.
Другой способ определения импульсного отклика основан на измерении частотной характеристики линейной системы и последующем расчёте с использованием выражения . Для измерения частотной характеристики необходимо на вход исследуемой системы подать гармоническое колебание и определить зависимость амплитуды сигнала на выходе системы от частоты входного сигнала.
Этот способ тоже не лишён недостатков, однако его реализация значительно проще, чем первого. Кроме этого этот способ применим только к системам инвариантным к сдвигу – т.е. к системам, которые описываются уравнением Фредгольма 1-го рода с разностным ядром.
Обратная задача называется корректно поставленной, если выполняются следующие условия.
Корректность решения обратной задачи. Существования решения
- Существует решение задачи.
- Решение является единственным.
- Решение является устойчивым.
В общем случае ни одно из этих условий для обратных задач не выполняется.
Начнем с первого условия, т.е. покажем, что в общем случае решение обратной задачи не существует. При этом надо понимать, что под решением подразумевается точное решение.
В общем случае входное воздействие и отклик линейной системы связаны между собой уравнением Фредгольма.
Пусть импульсный отклик системы представляет собой гладкую функцию по переменной , а функция
,
где - точные исходные данные, а - шум.
В общем случае функция не является гладкой, так как шум является случайной функцией. Таким образом, если вернуться к уравнению мы имеем в левой части разрывную функцию переменной , а в правой части гладкую функцию этой же переменной. Так как функция , входящая в подынтегральное выражение, от переменной не зависит, то изменить это соотношение путем выбора решения не возможно. Т.е. точного решения задачи в общем случае не существует.