32. Представление Релея для монохроматических волн

Выражение для произвольной монохроматической волны

Выше уже говорилось о том, что произвольную монохроматическую волну с неплоской фазовой поверхностью можно представить в виде суммы плоских волн, распространяющихся в различных направлениях. Такое представление справедливо в силу линейности волнового уравнения – общее решение уравнения можно представить в виде суммы частных решений, т.е. суммы плоских волн распространяющихся в различных направлениях. Вспомним, что направление распространения волны определяется компонентами u₁ и u₂, тогда искомое общее решение можно записать в виде

.

В выражении функция описывает собой комплексную амплитуду волны, распространяющейся в направлении, определяемом переменными u₁ и u₂. Это выражение включает в себя не только плоские волны, но и неоднородные экспоненциально затухающие волны, для которых .

Такой вид записи произвольной монохроматической волны носит названия представления Релея и широко применяется при решении различных задач.

Использование представления Релея для решения задачи распространения волн в свободном пространстве

Решим следующую задачу – пусть известно распределение комплексной амплитуды поля в плоскости z = 0. Требуется определить распределение комплексной амплитуды в некоторой другой плоскости z ≠ 0.

Согласно представлению Релея известное распределение поля в плоскости z = 0 запишется в виде

.

Мы видим, что выражение представляет интеграл Фурье, связывающий значения комплексной амплитуды поля и функции . При помощи преобразования Фурье мы можем определить функцию :

.

Воспользовавшись тем, что согласно представлению Релея, функция не зависит от координаты z, искомое распределение комплексной амплитуды можно определить непосредственной подстановкой найденной функции в .

Последним шагом в решении поставленной задачи является выбор правильного знака перед z в . Этот знак можно определить по поведению неоднородных волн с учетом граничных условий на бесконечной сфере – неоднородные волны должны затухать с увеличением расстояния. С учетом этих соображений при z > 0 необходимо выбирать знак «плюс», а при z < 0 – «минус».

Таким образом, зная распределение комплексной амплитуды произвольной монохроматической волны в каком-либо одном сечении, можно построить распределение комплексной амплитуды в любом другом сечении этого поля.

33. Представление Релея для немонохроматических волн

Общий подход к представлению немонохроматических волн

При помощи представления Релея можно описывать не только монохроматические волны. В общем случае произвольное поле можно представить в виде суперпозиции монохроматических полей разных частот, каждое из которых описывается . Данное допущение широко используется в теории колебаний при представлении произвольного сигнала как суммы бесконечного ряда гармонических сигналов.

Решим аналогичную предыдущей задачу для произвольного поля. Пусть в сечении z = 0 задано произвольное поле . Нам необходимо определить временную зависимость поля в произвольном сечении z.

Заданное в сечении z = 0 поле можно представить в виде суммы монохроматических полей различных частот при помощи интеграла Фурье; каждое такое монохроматическое поле с частотой будет иметь комплексную амплитуду

.

Для каждого такого монохроматического поля, являющегося одной из составляющих произвольного поля, можно вычислить функцию согласно :

.

Далее, для каждого из полей можно отыскать распределение поля в произвольном сечении z:

,

где с - скорость распространения волны в пространстве, .

Далее мы можем получить искомое распределение поля при помощи обратного преобразования Фурье:

Некоторые частные случаи представления немонохроматической волны

Если поле таково, что его распределение в сечении z = 0 можно представить как произведение функций, зависящих только от координат и только от времени

,

то выражение можно записать в виде

,

где - спектр функции ,

Комплексная амплитуда вычисляется согласно на основании функции , вычисленной по пространственному распределению поля в известном сечении z = 0. Несмотря та то, что функция в данном случае не зависит от частоты, комплексная амплитуда будет зависеть от , т.к. в .

Еще одним способом представления произвольного поля является разложение по отдельным источникам излучения. В этом случае распределение поля в сечении z = 0 запишется в виде

,

где - распределение амплитуды в сечении z = 0 от j-го источника, колеблющегося по закону .

В этом случае для каждого из источников может быть применено выражение , а затем полученные распределения поля просуммированы. Важным для нас является то, что любую произвольную немонохроматическую волну можно представить в виде суммы монохроматических волн. Это позволит нам в дальнейшем проводить рассуждения только для монохроматических волн, помня о том, что они остаются справедливыми для компонент произвольных волн.