Восстановление радиоголографических изображений

38. Алгоритм восстановления изображений в частотной области

Задача восстановления изображений как обратная задача

Теперь мы имеем все сведения, необходимые для того, чтобы восстанавливать микроволновые изображения объектов по данным измерений рассеянного поля.

Изображением объекта мы будем называть некоторую скалярную функцию (функцию объекта) пространственных координат, которая характеризует распределение свойств объекта (например, коэффициента отражения) в пространстве. Далее мы будем рассматривать простые случаи плоских объектов – когда функция объекта зависит только от двух пространственных координат.

Кроме того, для упрощения выкладок будем считать, что измерения рассеянного объектом поля также выполняются на некоторой плоской поверхности, которая параллельна плоскости объекта. Эту поверхность будем называть плоскостью апертуры (апертурой).

В решении задачи восстановления мы будем использовать ряд приближений, которых так или иначе мы касались выше. Самым главным является приближение Кирхгофа, которое в нашем случае можно сформулировать так: значение поля на поверхности объекта пропорционально функции объекта. С учетом этого приближения задача восстановления изображения объекта сводится к задаче восстановления картины распределения поля на поверхности объекта.

Следующим приближением является то, что между плоскостью объекта и плоскостью апертуры находится свободное пространство. Это приближение вполне допустимо в большинстве случаев – даже если объект расположен в некотором непоглощающем диэлектрике, его можно рассматривать как свободное пространство с уменьшенной скоростью распространения волн.

Таким образом, задача восстановления изображения сводится к расчету распределения поля на поверхности объекта по известным значениям поля в плоскости апертуры. При этом важным является то, что волна распространяется от плоскости объекта к плоскости апертуры.

Задача нахождения распределения поля в одном сечении по известному распределению в другом была рассмотрена выше, однако в этой задаче предполагалось, что волна распространяется от сечения с известным значением поля к сечению с неизвестными значениями. Такая задача является прямой в том смысле, что ее решение заключается в вычислении выходного сигнала (распределение поля) после преобразования входного сигнала (известное распределение поля) линейной системой с известными параметрами (свободное пространство).

Для восстановления изображения необходимо решить обратную задачу, т.е. определить входной сигнал по известным выходному сигналу и характеристикам преобразующей сигнал системы. Как и любая другая обратная задача, задача восстановления изображения в общем случае является некорректно поставленной, т.е. для нее характерны свойства некорректно поставленных задач – существование или множественной решений, неустойчивость решения и т.п.

Решение обратной задачи в частотной области

Рассмотрим следующий эксперимент: объект, расположенный в плоскости z = 0, облучается некоторой монохроматической волной. Направление распространения облучающей волны обратно направлению оси z.

Объект рассеивает облучающую волну, отражая часть энергии электромагнитного поля в плоскость апертуры, параллельную плоскости объекта и отстоящую от нее на некотором расстоянии z. В этой плоскости производится измерение амплитуды и фазы отраженного поля. Схематически эксперимент изображен на рисунке 6.

Рисунок 0.6 – Схема эксперимента по восстановлению изображения объекта

Нашей задачей является расчет функции объекта по данным измерений параметров поля (комплексной амплитуды) в плоскости апертуры.

Используя представление Релея, мы можем выразить значения комплексной амплитуды в плоскости апертуры через угловой спектр поля в этой области:

.

Это выражение можно записать в виде обратного двухмерного преобразование Фурье:

,

где - пространственный спектр поля в плоскости апертуры, ,

- частотная характеристика свободного пространства протяженностью z .

В свою очередь, угловой спектр поля можно рассчитать, зная распределение комплексной амплитуды поля в плоскости z = 0, т.е. в плоскости объекта :

.

Выше уже упоминалось о том, что расчет углового спектра поля по распределению комплексной амплитуды является вычислением преобразования Фурье.

Пространственный спектр поля в области апертуры представляет собой произведение углового спектра (пространственного спектра в плоскости объекта) поля на частотную характеристику свободного пространства, описываемую выражением . Таким образом, пространственный спектр распределения комплексной амплитуды поля в плоскости апертуры связан соответствующим спектром в плоскости объекта через частотную характеристику свободного пространства.

Исходя из этого, решение обратной задачи можно осуществлять при помощи следующей последовательности шагов:

• по известному распределению комплексной амплитуды поля в плоскости апертуры вычислить пространственный спектр поля при помощи прямого преобразования Фурье,

• по вычисленному спектру поля в плоскости апертуры определить пространственный спектр поля в области объекта, обратив трансформацию, производимую со спектром свободным пространством (разделив спектр поля в области объекта на частотную характеристику свободного пространства).

• рассчитать распределение комплексной амплитуды поля в плоскости объекта, выполнив обратное преобразование Фурье от рассчитанного спектра поля

• в качестве функции объекта использовать абсолютное значение полученного распределения.

Схематично алгоритм восстановления можно записать в виде блок-схемы, показанной на рисунке 7:

Рисунок 0.7 – Алгоритм восстановления изображения объекта в частотной области

На рисунке операция означает вычисление прямого преобразования Фурье, а операция – обратного преобразования Фурье.

Дискретизация задачи

При решении задачи восстановления напрямую использовать предложенный алгоритм нельзя по нескольким причинам. Во-первых, из физических соображений измерения поля могут проводиться только в определенных точках плоскости апертуры. Кроме того, реальные алгоритмы не способны проводить вычисления над непрерывными функциями, которые описывают распределения поля, их спектры и т.п.

Для преодоления этих ограничений используем дискретизацию задачи, при которой непрерывные функции представляются рядом фиксированных значений в определенных точках. Этот подход является одним из частных случаев метода моментов.

В приведенных выше соотношениях предполагается, что распределения поля заданы на бесконечных плоскостях, что недостижимо в реальных условиях. Это ограничение также нужно учитывать при дискретизации задачи.

Представим, что измерения поля в плоскости апертуры проводятся в узлах прямоугольной решетки размером a на b в направлении осей x и y соответственно. Общее число элементов решетки составляет N = AB (рисунок 8).

Рисунок 0.8 – Дискретизация задачи

Объект в данном случае можно представить в виде набора прямоугольников одинакового размера, заполняющих плоскость объекта. В каждом из таких элементов объекта значение функции объекта будем считать постоянным. По соображениям, которых мы коснемся ниже, размеры плоскости объекта должны совпадать с размерами плоскости апертуры; таким образом, размер каждого элемента будет составлять a/A на b/B.

Дискретное преобразование Фурье и БПФ

Алгоритм решения обратной задачи с учетом проведенной дискретизации будет аналогичен представленному на рисунке 7; однако, вместо аналитических операций преобразования Фурье будут выполнены операции дискретного преобразования Фурье (ДПФ).

Для быстрого вычисления преобразований Фурье можно использовать алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ). Суть этого алгоритма заключается в том, что операция преобразования массива из M (M четное) элементов сводится к комбинации двух преобразований Фурье для четных и нечетных элементов массива. В свою очередь, если каждый из этих массивов имеет четное число элементов, то его также можно разделить на два массива и так далее, до пар из элементов исходного массива. Однако, для того, чтобы массив можно было разбивать до образования пар элементов, его размер должен быть равен 2^K, К=1,2,3…

Дискретное преобразование Фурье, и соответственно БПФ, имеют особенность, связанную с характерным расположением отсчетов частот в выходном массиве. Вспомним, что при выполнении преобразования Фурье некоторой аналитической функции, результирующий спектр представляет собой функцию, определенную как в области положительных, так и отрицательных частот. В случае дискретного преобразования Фурье результатом операции является некоторый массив, размер которого совпадает с размером исходного массива. Часть значений этого массива являются отсчетами, соответствующими положительным значениям частоты, а часть – отрицательным значениям.

Можно строго показать, что спектр сигнала, формируемый операцией дискретного преобразования Фурье, содержит частоты от до , где  ­– интервал дискретизации сигнала. Это соответствует теореме Котельникова (Найквиста), согласно которой для представления сигнала по его выборкам необходимо знать спектр сигнала в полосе частот, ограниченной сверху половиной частоты дискретизации сигнала (частоты следования выборок).

В спектре сигнала, формируемом при помощи дискретного преобразования Фурье, первая половина выборок массива представляет собой значения, соответствующие положительным частотам спектра сигнала, а вторая половина – значениия, соответствующие отрицательным частотам. Для приведения спектра сигнала к привычному виду, где сначала расположены отрицательные, а затем положительные частоты, необходимо попарно переставить элементы верхней и нижней половин выходного массива. Эта операция называется сдвигом ДПФ.

Расположение отсчетов в выходном массиве показано на рисунке 9.

а)	б)	в)

Рисунок 0.9 – Расположение отсчетов в выходном массиве ДПФ

На рисунке 9а показан спектр некоторого непрерывного сигнала, 9б – спектр дискретизированного сигнала с сохранением исходного порядка следования выборок, 9в - результирующий массив после выполнения сдвига ДПФ.

При выполнении операций двухмерного ДПФ операция сдвига осуществляется несколько сложнее – необходимо попарно переставить первую и четвертую, а также вторую и третью четверти выходного двухмерного массива.

Интервал дискретизации частоты и размер изображения

Возвращаясь к задаче восстановления изображения, определим, с каким интервалом будут расположены пространственные частоты в вычисленном при помощи ДПФ спектрах распределения поля. Исходя из высказанных выше соображений, спектр сигнала по пространственной частоте u₁, соответствующей координате x, будет заключен в интервале от до , а спектр по частоте u₂, соответствующей координате y ­– соответственно в интервале от до . Учитывая, что результирующий массив имеет те же размеры, что и исходный, интервалы дискретизации пространственных частот будут составлять и соответственно.

Определим теперь размер изображения, получаемый при помощи рассматриваемого алгоритма восстановления. Для этого проанализируем каждый из этапов алгоритма.

На первом этапе производится вычисление ДПФ от исходного массива измеренных значений поля. Выше было показано, что результирующий массив будет содержать пространственные частоты в диапазоне от до и от до соответственно по двум частотным координатам.

Следующим этапом восстановления является поэлементное деление полученного спектра на значения частотной характеристики свободного пространства. Эта характеристика в дискретизированном виде будет также представлять собой массив, размеры которого должны совпадать с размерами массива спектра распределения поля. Кроме того, частоты, соответствующие каждому из элементов массива частотной характеристики, также должны соответствовать частотам спектра.

Вычисленный спектр поля в плоскости объекта будет иметь те же частоты, что и исходный спектр и частотная характеристика. Следовательно, массив распределения поля в плоскости объекта, вычисляемый при помощи операции обратного ДПФ от полученного спектра, будет соответствовать размерам a на b с числом элементов A на B.

Это означает, что получаемое при восстановлении в частотной области изображение объекта будет иметь те же размеры и тот же шаг дискретизации, какие были в решетке, в узлах которой измерялись значения рассеянного поля.