Регуляризация решени обратных задач
Регуляризация решения. Метод регуляризации Тихонова
Регуляризация решения обратных задач выполняется для преодоления неустойчивости решения. Общим подходом регуляризации является поиск заведомо неточного решения задачи; но отличие этого решения от точного не превышает некоторой заданной величины, определяемой погрешностью исходных данных.
Наиболее распространенным методом регуляризации решения обратных задач является метод регуляризации, предложенный А. Н. Тихоновым. Пусть мы имеем линейную систему, описываемую оператором , т.е. выходной сигнал системы f связан с входным s следующим выражением:
.
Нам необходимо решить обратную задачу,
исходными данными для которой является
выходной сигнал системы
,
отличающийся от точного выходного
сигнала f на
величину ,
т.е.
.
Согласно методу регуляризации Тихонова,
с приближенными исходными данными можно
получить приближенное решение
при помощи обратного оператора
,
зависящего от параметра .
Величину
называют параметром, или коэффициентом,
регуляризации.
При этом значения параметра
нужно выбирать согласованным с
погрешностью исходных данных;
согласованность должна быть такой,
чтобы при
,
где s – точное решение
обратной задачи при исходных данных f.
Оператор , используемый при решении обратной задачи, должен удовлетворять следующим свойствам:
- должен быть определен для любого положительного числа и для любого возможного выходного сигнала
- должна существовать такая функция
,
и для любого положительного числа
должно существовать такое число
,
что если
,
то
и
,
где
– регуляризованное решение.
Нетрудно видеть, что величина представляет собой погрешность решения.
Регуляризация решения уравнения типа свертки
Решение интегрального уравнения типа свертки можно записать в следующем виде:
,
где 1/H() – частотная характеристика точного обратного оператора,
F() – спектр исходных данных.
В общем виде это решение является
неустойчивым. Регуляризация решения
заключается в домножении подынтегрального
выражения на некоторую функцию
,
достаточно быстро убывающую с ростом
. В результате
получим оператор
,
который называется регуляризирующим оператором если функция K( удовлетворяет следующим условиям:
-
K( определена и
и
при
при
при не убывая
L2
Функция
,
удовлетворяющая этим условиям,
называется стабилизирующей функцией
(стабилизирующим множителем).
Существуют различные семейства регуляризирующих операторов, соответствующие различным типам стабилизирующих функций.
Семейству регуляризирующих операторов, предложенному Тихоновым, соответствует стабилизирующий множитель следующего вида:
,
где
.
Число N называется порядком регуляризации, а числа n – неотрицательные константы.
Таким образом, регуляризация решения интегрального уравнения типа свертки по методу Тихонова заключается в применении приведенного выше стабилизирующего множителя. При этом регуляризирующий оператор имеет следующий вид:
При использовании Тихоновской регуляризации необходимо, в первую очередь, определить вид функции Q(). После задания Q() необходимо определить оптимальное значение коэффициента регуляризации .