- •Основные понятия курса. Оптическая и неоптическая голография
- •Что такое изображение
- •Методы восстановления изображений
- •Методы реконструкции изображений
- •Другие методы цифровой обработки изображений
- •Оптическая голография. Регистрация интерференционной картины.
- •Оптическая схема получения голограммы.
- •Неоптическая голография
- •Математический аппарат решения задач восстановления и реконструкции изображений
- •Дельта-функция
- •Свойства дельта-функции
- •Преобразование Фурье. Теорема о свёртке
- •Линейные системы. Импульсный отклик линейной системы
- •Прямые и обратные задачи. Уравнение Фредгольма
- •Решение уравнения типа свёртки. Частотная характеристика
- •Корректность решения обратной задачи. Существования решения
- •Единственность решения на примере уравнения типа свертки
- •Устойчивость решения
- •Регуляризация решени обратных задач
- •Регуляризация решения. Метод регуляризации Тихонова
- •Регуляризация решения уравнения типа свертки
- •Фильтр Тихонова. Невязка
- •Оптимальный фильтр Винера
- •Управляемая линейная фильтрация. Фильтр Бэйкуса-Гильберта
- •Гомоморфная фильтрация
- •Метод неопределенных коэффициентов
- •Пример решения обратной задачи
- •Коррекция искажений, вызванных равномерным прямолинейным движением объекта
- •Коррекция искажений, вызванных равномерным прямолинейным движением объекта. Учет граничных условий
- •Разрешающая способность систем формирования изображений
- •Понятие о разрешающей способности
- •Теоретическая оценка разрешающей способности на примере анализатора спектра
- •Представление Релея для монохроматических волн
- •Представление Релея для немонохроматических волн
- •Двойной физический смысл пространственной частоты
- •Частотная характеристика свободного пространства
- •Угловой спектр сферической волны
- •Импульсный отклик свободного пространства
- •Восстановление радиоголографических изображений
- •Алгоритм восстановления изображений в частотной области
- •Восстановление изображений в приближении Френеля
- •Азимутальное разрешение радиоголографической системы
- •Синтез апертуры сканированием одной антенной
- •Синтез апертуры сканирования двумя антеннами
- •Синтез радиоголограмм динамических объектов
- •Разрешающая способность в радиальном направлении
- •Многочастотная голография
- •Основы томографии
- •Прохождение плоскопараллельного пучка через среду с поглощением
- •Преобразование Радона
- •Преобразование Радона точечного объекта
- •Теорема о центральном сечении
- •Обратное преобразование Радона
- •Алгоритм обратного проецирования
- •Вычисление обратного преобразования Радона
- •Итерационные алгоритмы решения обратных задач
- •Понятие об итерационных алгоритмах решения обратных задач
- •Итерационные алгоритмы с ограничениями
- •Итерационное уравнение
- •Ряд Неймана
- •Итерационный оператор для уравнения типа свертки
Оптимальный фильтр Винера
При построении фильтра Тихонова мы исходили из того, что нам известна дисперсия шума в исходных данных, т.е. величина 2 . Зная эту величину по невязке мы определили оптимальное значение регуляризирующего коэффициента для заданной функции Q().
Рассмотрим случай, когда у нас имеется более обширная информация о шуме и поведении решения.
В общем случае исходные данные мы представляли в виде суммы точного значения исходных данных и шума, т.е. в виде
.
Так как шум n(x) это случайный процесс, то и исходные данные являются f(x) также являются случайным процессом. Кроме этого решение s(x) также будет случайной функцией. В противном случае его не надо было бы искать.
Если параметры этих случайных процессов известны, то их (параметры) можно использовать в качестве априорной информации при разработке алгоритма восстановления.
Пусть функции s(x) и n(x)являются реализациями стационарных, некоррелированных между собой случайных процессов, и известны спектральные плотности мощности этих процессов RS () и RN().
Тогда задачу определения оптимального регуляризирующего оператора сформулируем следующим образом: найти оператор, который минимизирует величину среднеквадратичного отклонения получаемого решения от точного, т.е. минимизирует величину E[S(x)–ST(x)]2 , при известных функциях RS() и RN(), где E [ ] – знак математического ожидания.
Пусть такому оператору соответствует стабилизирующий множитель K( ). Составим уравнение для его определения.
Для определения математического ожидания квадрата разности функций используем следующие соотношения:
Так как ST() и N() – некоррелированные случайные процессы по условию, то
Кроме того
Подставив в подынтегральные выражения значения математических ожиданий, получим
.
Или
Нам необходимо минимизировать значение полученного интеграла путем выбора соответствующего стабилизирующего множителя K(,.). Для этого найдем первую производную от подынтегрального выражения по K(, ) и приравняем ее к нулю.
Так как вторая производная по K(,) равна RS() + RN()/|H()|2 0, то условие является условием минимумом. Отсюда следует
Или
Обратный оператор, соответствующий данному стабилизирующему коэффициенту имеет следующий вид:
Применение тихоновской или винеровской фильтрации к обработке изображений далеко не всегда дает положительные результаты. Объясняется это тем, что математические критерии, положенные в основу этих фильтров, не соответствуют критериям качества изображений. Восприятие зрительных образов человеком сложный и неизученный, на сегодняшний день, физиологический процесс. Отсутствие достаточно точных моделей обработки зрительной информации головным мозгом человека, приводит к невозможности получения математических критериев качества изображений воспринимаемых человеком. Это в значительной степени усложняет процесс обработки и приводит к тому, что в процессе обработки изображений с целью улучшения качества их субъективного восприятия должен принимать участие эксперт или группа экспертов. При этом предполагается, что в процессе обработки есть возможность изменять те или иные параметры обратного оператора с помощью которого восстанавливается изображение.
В случае тихоновской фильтрации таким параметром является параметр регуляризации . В случае оптимального фильтра Винера такой параметр отсутствует. Для придания большей гибкости винеровской фильтрации был предложен видоизмененный стабилизирующий коэффициент
Этому стабилизирующему коэффициенту соответствует обратный оператор
Такой фильтр называется параметрическим фильтром Винера.