35. Частотная характеристика свободного пространства

Вывод частотной характеристики

Обратимся опять к выражениям , и . Эти выражения были использованы нами для решения задачи нахождения поля в одном сечении при известном распределении поля в другом. Первым шагом в решении этой задачи было нахождение пространственного спектра поля в известном сечении согласно выражению , представляющего собой двухмерное преобразование Фурье. Далее при помощи выражения мы отыскивали искомое распределение поля.

Проанализировав выражение , можно увидеть, что оно представляет собой обратное двухмерное преобразование Фурье от величины

,

т.е.

.

Мы видим, что величина представляет собой не что иное, как пространственный спектр искомого распределения поля . Из видно, что пространственный спектр в сечении z ≠ 0 отличается от спектра в сечении z = 0 множителем

.

Следовательно, распространение волны вдоль оси z от сечения z = 0 до сечения z ≠ 0 в спектральной области представляется как умножение спектра распределения комплексной амплитуды на некоторый множитель .

Аналогия частотной характеристики для системы с сосредоточенными параметрами

Аналогией этому процессу является преобразование сигнала линейной колебательной системой с сосредоточенными параметрами. В этом случае на вход системы поступает некоторый сигнал , спектром которого является функция , а на выходе системы действует сигнал , спектр которого можно вычислить как произведение спектра входного сигнала на некоторую функцию , называемую частотной характеристикой системы. Эта функция не зависит от входного сигнала и определяется лишь свойствами системы.

Таким образом, для того, чтобы узнать сигнал на выходе такой системы по известному сигналу на ее входе, необходимо выполнить следующие преобразования:

• вычислить спектр входного сигнала при помощи преобразования Фурье;

• вычислить спектр выходного сигнала, перемножив спектр входного сигнала на частотную характеристику системы;

• вычислить сигнал на выходе системы по известному спектру при помощи обратного преобразования Фурье.

Возвращаясь к решению задачи нахождения поля в произвольном сечении, мы видим аналогию между преобразованием временного сигнала линейной системой с сосредоточенными параметрами и преобразованием распределения комплексных амплитуд («пространственного сигнала») свободным пространством, в котором распространяется поле. Таким образом, свободное пространство также является линейной системой, преобразующей пространственный сигнал. Эта аналогия показана на рисунке 3.

а)

б)

Рисунок 0.3 – Аналогия между колебательными и волновыми линейными системами

В соответствии с такой аналогией функцию называют частотной характеристикой свободного пространства. Эта характеристика показывает, как изменяется пространственный спектр распределения комплексных амплитуд поля при прохождении поля через свободное пространство.

Свойства частотной характеристики

Представляет интерес проанализировать некоторые свойства частотной характеристики свободного пространства. Так, рассмотрим модуль частотной характеристики, описываемой выражением . Можно записать, что

.

Видно, что в частотной плоскости выделяются две зоны, в которых модуль частотной характеристики ведет себя различным образом. Внутри круга радиусом k и центром в начале координат частотной плоскости модуль частотной характеристики постоянен и равен единице. Вне этого круга модуль частотной характеристики убывает с удалением от начала координат. Схематически модуль частотной характеристики представлен на рисунке 4а (условно k=1). На рисунке 4б представлен срез графика при u₂ = 0.

а)

б)

Рисунок 0.4 – Примерный график модуля частотной характеристики свободного пространства

Оценим, насколько быстро убывает модуль частотной характеристики при удалении от начала координат за пределами круга на частотной плоскости радиусом k. Для этого рассмотрим зависимость модуля частотной характеристики от величины u = u₁ – k при u₂ = 0:

Определим условие, при котором спад модуля частотной характеристики в e раз будет происходить на интервале u, значительно меньшем k. Это условие запишется в виде

.

Учитывая, что , из получаем искомое условие:

, или .

Фильтрующая характеристика свободного пространства

Таким образом, при достаточной (по сравнению с длиной волны) длине участка свободного пространства оно работает как фильтр, не пропускающий частотные составляющие пространственного спектра, лежащие выше значения волнового числа k. Эти составляющие соответствуют неоднородным волнам в разложении поля.

Кроме того, фильтрация такого рода объясняет применимость приближений Кирхгофа для описания поля на объекте (рисунок 5а). Напомним, что это приближение утверждает, что поле на поверхности объекта со «теневой» стороны (обратной направлению распространения волны), отсутствует (рисунок 5б), а поле на участках, где объект отсутствует, точно такое же, как и в отсутствие объекта вообще. Напротив, при отражении поля от объекта (рисунок 5в) отраженное поле на его поверхности такое же, как и при отражении от бесконечной плоскости, а на участках, где объект отсутствует, поле не отражается совсем.

	А-А	В-B
а)	б)	в)

Рисунок 0.5 – Приближение Кирхгофа

Приближение Кирхгофа является грубым в том смысле, что распределение поля, подчиняющееся этому приближению, испытывает разрыв в местах сопряжения объекта со свободным пространством, и не может формально удовлетворять волновому уравнению. Однако фильтрующее свойство частотной характеристики свободного пространства приводит к тому, что на некотором удалении от объекта высокочастотные составляющие спектра поля, вносимые разрывами поля в приближении Кирхгофа, сглаживаются, и распределение поля в этом сечении не противоречит волновому уравнению.