Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Лекции - Восстановление и реконструкция изображ...doc
Скачиваний:
81
Добавлен:
07.05.2019
Размер:
4.65 Mб
Скачать
  1. Теоретическая оценка разрешающей способности на примере анализатора спектра

Использование функции рассеяния для оценки разрешающей способности рассмотрим на примере анализатора спектра.

Известно, что функция и её спектр связаны интегральным преобразованием, которое называется обратным преобразованием Фурье и имеет следующий вид

.

При этом функцию можно трактовать как воздействие на входе линейной системы с импульсным откликом ,a как отклик этой системы.

Исходя из этого рисунка, определение спектра сигнала по реализации сигнала можно рассматривать как решение некоторой обратной задачи. При этом решение этой задачи

,

где - интервал, котором задан сигнал . Очевидно, что этот интервал не может быть бесконечным.

Подставим соотношение в выражение . В результате получим

.

Вычислим внутренний интеграл в полученном выражении:

.

Таким образом

.

Если в спектре содержится только одна спектральная составляющая на частоте 0 , то

.

В этом случае

.

Таким образом, функция рассеяния анализатора спектра

.

Т.е. при формировании изображения точечного объекта вместо - функции мы получили некоторое распределение, график которого представлен на рис. 1.

Допустим, что в спектре сигнала две составляющие с амплитудами A1 и A2 на частотах и соответственно. В этом случае изображение описывается следующим выражением

.

График этого изображения при одинаковых амплитудах спектральных компонент представлен на рис. 2.

Рис. 1.

Рис. 2.

Если начать уменьшать расстояние между спектральными составляющими, то значение функции в точке начнет увеличиваться и начиная с некоторого расстояния 0 две спектральные линии сольются в одну, т.е. исчезнет провал между их максимумами, как это показано на рис.3

Рис. 3а.

Рис. 3б.

В 1903 году Рэлей предложил в качестве количественной оценки разрешающей способности спектральных приборов использовать величину, равную расстоянию между спектральными линиями когда максимум одной линии совпадает с первым минимумом другой. Провал между максимумами при этом равен 0,81.

Т.е. в соответствии с принципом предложенным Релеем за оценку разрешающей способности берется величина равная полуширине функции рассеяния на нулевом уровне. Иногда функция рассеяния имеет достаточно сложную форму и удобнее в качестве точки отсчета использовать уровень равный 0,5. Мы рассмотрели случай, когда составляющие спектра имеют одинаковую амплитуду. Когда их амплитуда значительно отличается, необходимо учитывать уровень боковых лепестков функции рассеяния. Известно, что величина 1-го бокового лепестка функции sin x/x равна 0,21. Поэтому если амплитуды спектральных составляющих отличаются в 5 раз, для их разрешения необходимо, чтобы расстояние между их максимумами было больше, чем расстояние между максимумом и вторым нулем одной из них. В противном случае спектральная составляющая с малой амплитудой будет подавлена боковым лепестком более мощной составляющей. Этот случай иллюстрируется рис.4 и рис.5, на которых показаны две спектральные составляющие при соотношении амплитуд 1/2 и 1/10. Очевидно, что слабый сигнал маскируется боковыми лепестками более мощного сигнала.

Рис. 4.

Рис. 5.

  1. Применение окон для улучшения разрешающей способности, аподизация. Сверхразрешение

Основные понятия и принципы радиоголографии

  1. Понятие о радиоголограмме. Формирование радиоголограммы радиоприемными устройствами

  1. Восстановление радиоголограмм - как обратная задача. Приближение Кирхгофа

  1. Комплексная амплитуда плоской монохроматической волны

Понятие о плоской волне

Плоской называется монохроматическая электромагнитная волна, фазовая поверхность которой представляет собой плоскость, перпендикулярную направлению распространения волны. Иными словами, точки волны, в которых фаза гармонических колебаний поля одинакова, представляют собой плоскость.

В действительности плоская волна представляет собой математическую модель, физическая реализация которой невозможно. Во-первых, плоская волна должна занимать все пространство, а во вторых, строго выполнить условие монохроматичности можно только при существовании волны в бесконечно большой промежуток времени. Однако эта модель является очень важной при описании волн, так как плоская волна является частным решением волнового уравнения. Ниже мы покажем, как произвольную распространяющуюся волну можно представить в виде суммы плоских волн.

Вывод уравнения колебаний плоской волны

Так как рассматриваемая плоская волна является монохроматической, то колебания в каждой ее точке описываются уравнением гармонических колебаний. Предположим, что колебания точки волны, расположенной в начале координат ( ), описываются уравнением , т.е. амплитуда колебаний равна 2А, а их начальная фаза - . Из физических соображений (отсутствие поглощения волн в среде) примем, что амплитуда колебаний поля во всех точках волны одинакова. От точки к точке изменяется лишь начальная фаза колебаний, при этом все точки любой плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны, колеблются в одной фазе.

Известно, что длиной волны называется расстояние, на котором фазы колеблющихся точек поля отличаются ровно на 2. Таким образом, если расстояние между двумя колеблющимися точками волны составляет l, то фаза колебаний этих двух точек отличается на величину . Во всех случаях расстояние отмеряется вдоль направления распространения волны, т.е. перпендикулярно фазовой поверхности волны.

Рассмотрим фазовую поверхность волны, удаленную от начала координат на некоторое расстояние l. Точки этой поверхности колеблются с начальной фазой, отличающейся от фазы на величину

.

Знак «минус» перед величиной выбран из следующих соображений: чем дальше фазовая поверхность находится от начала координат (в сторону направления распространения волны), тем меньше значение фазы, так как к более далеким фазовым поверхностям колебания приходят позже. Следовательно, при перемещении в направлении распространения волны начальная фаза колебаний уменьшается.

Точки фазовой поверхности должны удовлетворять известному из геометрии уравнению плоскости

где - радиус-вектор точки,

- вектор нормали к плоскости (в нашем случае он параллелен направлению распространения волны),

l - расстояние от плоскости до начала координат.

Подставляя в соотношение выражение , получим выражение для разности фаз между точкой волны, которая определяется радиус-вектором , и точкой, расположенной в начале координат:

.

Выражение можно записать в виде

,

где - волновой вектор – вектор, направленный вдоль направления распространения волны и по модулю равный .

Таким образом, точка волны, положение которой определяется радиус-вектором , колеблется с начальной фазой

,

то есть, ее колебания описываются уравнением гармонических колебаний с амплитудой 2А и начальной фазой :

.

Пусть векторы и характеризуются трехмерными координатами и . Тогда уравнение колебаний можно записать в виде

.

Выражение для комплексной амплитуды плоской волны

Плоскую волну, как и любую другую монохроматическую волну, можно описать при помощи понятия комплексной амплитуды. Комплексная амплитуда волны характеризует амплитуду и фазу гармонических колебаний поля в каждой точке пространства в некоторый фиксированный момент времени.

Покажем, как из уравнения гармонических колебаний выводится понятие комплексной амплитуды. Выражение для гармонических колебаний поля в некоторой точке можно представить в виде двух комплексно сопряженных слагаемых:

Для описания волны достаточно взять любое из двух этих слагаемых, пусть это будет второе из них. Это слагаемое, в свою очередь, можно представить в виде произведения двух экспоненциальных множителей, из которых один будет зависеть только от времени:

.

Комплексной амплитудой называется множитель в выражении , не зависящий от времени, т.е.

.

Это выражение описывает плоскую монохроматическую волну, распространяющуюся в направлении, которое определяется компонентами волнового вектора u1 и u2. Эти величины можно выразить через углы, характеризующие направление распространения волны:

Рисунок 0.1 - Волновой вектор

Координаты вектора , учитывая, что его модуль равен , связаны соотношением

,

откуда

.

Знак компоненты k­z определяется направлением распространения волны; если в направлении распространения волны координата z увеличивается, то величина kz положительна, в противном случае она отрицательна.

Таким образом, выражение для комплексной амплитуды можно представить в виде

где - комплексная амплитуда волны в начале координат.

Уравнение описывает плоскую монохроматическую волну при условии . В противном случае уравнение формально остается справедливым, однако описываемая им волна будет неоднородной с экспоненциально затухающей амплитудой. Такие волны могут реально существовать и называются запредельными.