57. Итерационный оператор для уравнения типа свертки

Определим условия, при выполнении которых оператор будет оператором сжатия для уравнения типа свертки, т.е. для случая когда оператор

Для простоты будем считать, что оператор ограничения является единичным оператором и в данном случае его можно не рассматривать. При этом

.

По отношению к свертке единичным оператором I является оператор

.

Таким образом

,

где - операция свертки.

Определим расстояние между двумя приближенными решениями. Так как с учетом равенства

,

то

.

Воспользуемся теоремой о свертке и перейдем в спектральную область. Тогда

.

Преобразуем соотношение

.

Пусть для некоторой частоты выражение принимает максимальное значение равное . Так как подынтегральное выражение не отрицательное, то

Или

В данном случае, чтобы итерационный оператор являлся оператором сжатия необходимо, чтобы

.

Так как на частоте выражение принимает максимальное значение, то неравенство должно выполнятся на любой частоты . Таким образом вместо неравенства получим следующее неравенство:

.

Раскроем это неравенство:

,

или

.

Для решения этого неравенства нужно решить квадратное уравнение относительно . Корни этого уравнения

.

Так в итерационное уравнение  входит как положительное число то для  должно выполняться следующее неравенство:

.

Неравенство должно выполняться для всех частот . Однако для реальных систем H() отлична от 0 только в некотором ограниченном диапазоне частот. В силу этого, начиная с некоторой частоты и оператор не будет являться оператором сжатия. Т.е. в такой постановке задачи итерационного оператора для уравнения типа свертки не существует.

Однако если задан оператор ограничения (который ранее мы приняли равным единичному оператору), то оператор и в случае, когда H()=0 может быть оператором сжатия. Пусть оператор

где оператор – оператор ограничения по частоте, определенный следующим образом

Использование такого оператора ограничения гарантирует выполнение неравенства при соответствующем выборе коэффициента .

Основные понятия курса. Оптическая и неоптическая голография 1

1. Что такое изображение 1

2. Методы восстановления изображений 1

3. Методы реконструкции изображений 1

4. Другие методы цифровой обработки изображений 2

5. Оптическая голография. Регистрация интерференционной картины. 2

6. Оптическая схема получения голограммы. 3

7. Неоптическая голография 4

Математический аппарат решения задач восстановления и реконструкции изображений 5

8. Дельта-функция 5

9. Свойства дельта-функции 7

10. Преобразование Фурье. Теорема о свёртке 8

11. Линейные системы. Импульсный отклик линейной системы 9

12. Прямые и обратные задачи. Уравнение Фредгольма 11

13. Решение уравнения типа свёртки. Частотная характеристика 12

14. Корректность решения обратной задачи. Существования решения 13

15. Единственность решения на примере уравнения типа свертки 14

16. Устойчивость решения 14

Регуляризация решени обратных задач 16

17. Регуляризация решения. Метод регуляризации Тихонова 16

18. Регуляризация решения уравнения типа свертки 16

19. Фильтр Тихонова. Невязка 17

20. Оптимальный фильтр Винера 19

21. Управляемая линейная фильтрация. Фильтр Бэйкуса-Гильберта 21

22. Гомоморфная фильтрация 23

23. Метод неопределенных коэффициентов 24

Пример решения обратной задачи 26

24. Коррекция искажений, вызванных равномерным прямолинейным движением объекта 26

25. Коррекция искажений, вызванных равномерным прямолинейным движением объекта. Учет граничных условий 28

Разрешающая способность систем формирования изображений 31

26. Понятие о разрешающей способности 31

27. Теоретическая оценка разрешающей способности на примере анализатора спектра 32

28. Применение окон для улучшения разрешающей способности, аподизация. Сверхразрешение 34

Основные понятия и принципы радиоголографии 34

29. Понятие о радиоголограмме. Формирование радиоголограммы радиоприемными устройствами 34

30. Восстановление радиоголограмм - как обратная задача. Приближение Кирхгофа 34

31. Комплексная амплитуда плоской монохроматической волны 34

32. Представление Релея для монохроматических волн 37

33. Представление Релея для немонохроматических волн 38

34. Двойной физический смысл пространственной частоты 39

35. Частотная характеристика свободного пространства 41

36. Угловой спектр сферической волны 43

37. Импульсный отклик свободного пространства 44

Восстановление радиоголографических изображений 45

38. Алгоритм восстановления изображений в частотной области 45

39. Восстановление изображений в приближении Френеля 50

40. Азимутальное разрешение радиоголографической системы 53

41. Синтез апертуры сканированием одной антенной 56

42. Синтез апертуры сканирования двумя антеннами 58

43. Синтез радиоголограмм динамических объектов 59

44. Разрешающая способность в радиальном направлении 62

45. Многочастотная голография 65

Основы томографии 68

46. Прохождение плоскопараллельного пучка через среду с поглощением 68

47. Преобразование Радона 69

48. Преобразование Радона точечного объекта 71

49. Теорема о центральном сечении 72

50. Обратное преобразование Радона 73

51. Алгоритм обратного проецирования 74

52. Вычисление обратного преобразования Радона 75

Итерационные алгоритмы решения обратных задач 77

53. Понятие об итерационных алгоритмах решения обратных задач 77

54. Итерационные алгоритмы с ограничениями 78

55. Итерационное уравнение 79

56. Ряд Неймана 80

57. Итерационный оператор для уравнения типа свертки 81

82