Разрешающая способность в радиальном направлении
Для анализа разрешающей способности радиоголографической системы в радиальном направлении необходимо получить выражение для функции рассеяния системы в этом направлении. Обратимся к полученному при выводе радиальной функции рассеяния выражению . Это выражение описывает (с учетом приближения Френеля) распределение поля в плоскости апертуры, создаваемое точечным рассеивателем, если плоскость апертуры расположена на расстоянии z от плоскости объекта:
.
Пусть мы восстанавливаем изображение точечного объекта, считая, что он расположен на расстоянии z1 от плоскости апертуры. В этом случае восстановленное в приближении Френеля поле на поверхности объекта (изображение объекта) запишется как
Для вычисления радиальной функции рассеяния нас будет интересовать значение распределения поля в точке (0, 0):
Введем величину z = z1 – z, характеризующую отклонение плоскости восстановления от истинной плоскости объекта. Восстановленное распределение поля в точке (0, 0) можно записать как функцию величины отклонения z, т.е. радиальную функцию рассеяния:
Перейдем к полярным координатам r и в :
.
Для учета того, что интегрирование
производится в пределах квадратной
апертуры, введена функция
,
характеризующая зависимость расстояния
от центра до границы апертуры.
Однако приближенное выражение для
функции рассеяния можно получить,
рассматривая две апертуры в виде
окружности с центром, совпадающим с
центром квадратной апертуры – одна
описанная вокруг квадратной апертуры,
другая вписанная в нее. Диаметр описанной
окружности будет равен
,
диаметр вписанной –
.
Очевидно, что общая разрешающая
способность системы будет находится
между разрешающими способностями,
рассчитанными для двух этих апертур.
Запишем выражение для импульсного отклика для большей из апертур:
Вынесем множитель
из скобок в выражении и преобразуем
полученное соотношение:
Полагая
,
выражение можно записать в виде:
.
Таким образом, разрешающая способность в радиальном направлении для большей апертуры будет определяться величиной
.
Аналогичные выкладки для вписанной окружности дадут такой результат:
.
Соответствующее радиальное разрешение будет равно
.
Итоговое радиальное разрешение системы можно найти как среднее между двумя полученными:
.
Сравним полученное выражение с выражением для азимутальной разрешающей способности:
.
Видно, что с учетом использованных
приближений (расстояние до апертуры
значительно больше ее размеров,
),
разрешающая способность радиоголографической
системы в радиальном направлении гораздо
хуже, чем в азимутальном. Так, при длине
волны 1 см (частота 30 ГГц), размере
апертуры 1 м и расстоянии до нее 5 м
минимальное расстояние в азимутальном
направлении между объектами, при котором
эти объекты еще различимы, составляет
0,1 м, а в радиальном направлении –
3 м.
Многочастотная голография
Одним из способов преодоления плохого радиального разрешения радиоголографической системы является использование нескольких частот облучения при синтезе апертуры. В этом случае синтез апертуры происходит несколько раз при различных частотах облучающего поля. Полученные таким образом данные обрабатываются совместно для восстановления изображения объекта. Радиальное разрешение системы в этом случае значительно улучшается.
Эффект улучшения радиального разрешения системы обуславливается специфическим видом радиальной функции рассеяния. На рисунке 19 показаны несколько различных радиальных функций рассеяния системы, рассчитанных для разных значений длин волн. Функции рассеяния имеют максимум в точке z = 0 и при удалении от этой точки затухают с колебаниями, период которых зависит от длины волны.
Рисунок также содержит график функции, полученной суммированием отдельных функций рассеяния. В силу различных периодов осцилляций функций боковые суммарной функции уменьшаются, в то время как центральный максимум функции увеличивается. Таким образом уменьшается ширина центрального максимума и увеличивается разрешающая способность системы.
Рисунок 0.19 – Функции рассеяния радиоголографической системы при разных частотах облучения
Алгоритм восстановления изображений с использованием многочастотной информации достаточно прост. Его принцип заключается в формировании набора одночастотных распределений поля в плоскости объекта любым из методов и последующем их сложении.
Выведем выражение для радиальной функции рассеяния в многочастотном случае. Выше мы получили, что для одной частоты, которой соответствует волновое число ki, радиальную функцию рассеяния можно приближенно определить при помощи перехода от прямоугольной апертуры к круговой. При этом вписанная круговая апертура дает меньшее радиальное разрешение, чем прямоугольная. Воспользовавшись этим, будем искать оценку сверху для радиального разрешения.
Функция рассеяния для вписанной круговой апертуры определяется выражением
.
Это выражение получено, если восстановление изображения производится при помощи преобразования вида :
.
Мы будем использовать несколько другую форму записи преобразования Френеля:
.
Физический смысл этой формы заключается в том, что к амплитуде и фазе восстановленного изображения добавляются некоторые величины, зависящие от частоты. С учетом этого функция рассеяния запишется как:
.
При суммировании данных, полученных на N различных частотах, итоговая функция рассеяния будет определяться выражением
В пределе, при увеличении числа частот, сумму в выражении можно заменить интегралом:
Вычислить интеграл непосредственно
не представляется возможным из-за
наличия в нем функции sinc().
Однако видно, что с учетом использованных
приближений (
и
)
аргумент функции sinc()
будет величиной, значительно меньшей
единицы. В этом случае значение функции
sinc() будет примерно равно
единице.
Кроме того, с учетом этих же приближений
видно, что в аргументе экспоненциального
множителя выражение
.
Запишем выражение для функции рассеяния с учетом этих соображений:
Запишем граничные значения волновых чисел в следующем виде:
.
Выражение в этом случае запишется в следующем виде:
Видно, что модуль функция рассеяния
определяется величиной
(множитель
на зависимость модуля функции рассеяния
от величины z
не влияет). Воспользовавшись полученными
ранее выводами, радиальное разрешение
системы в многочастотном случае будет
составлять величину
.
где – полоса длин волн излучения, f – полоса частот облучения, c – скорость распространения волн в среде.
В многочастотном случае радиальное разрешение может быть сопоставимо с азимутальным. Допустим, пусть в предыдущем примере (размер апертуры 0,5 м, расстояние до нее 5 м) используются волны c длинами от 1 до 1,1 см, что соответствует частотам от 27 ГГц до 30 ГГц) радиальное разрешение составит 0,1 м.
Конечно, в реальных условиях нет возможности снять данные на бесконечно большом числе частот, и реальное радиальное разрешение будет хуже по сравнению с выражением . Однако общая тенденция роста радиального разрешения с увеличением полосы частот остается.
При практической реализации многочастотной радиоголографической системы возникает проблема, связанная с тем, что фазовый сдвиг, вносимый в отраженный сигнал приемным трактом установки, зависит от частоты облучения. Это приводит к тому, что центральные максимумы комплексных функций рассеяния установки на различных частотах сдвигаются друг относительно друга, и суммарная функция рассеяния системы «расплывается», снижая радиальное разрешение. Для снижения влияния этого эффекта в алгоритме предусмотрена коррекция каждого из восстановленных изображений на некоторый эмпирически определенный коэффициент, компенсирующий частотную зависимость фазового сдвига системы.
Блок-схема алгоритма восстановления изображений с использованием многочастотной информации представлена на рисунке 20.
Рисунок 0.20 – Блок-схема алгоритма восстановления изображения с использованием многочастотной информации