Основы томографии
Прохождение плоскопараллельного пучка через среду с поглощением
Рассмотрим неоднородную поглощающую среду, через которую проходит плоскопараллельный пучок излучения. Определим, какой будет интенсивность излучения на выходе из среды, зная интенсивность на входе и свойства среды.
Будем считать, что излучение проходит через среду вдоль прямых лучей, и соседние лучи не взаимодействуют между собой. Выберем систему координат так, что бы ось x совпадала с одним из проходящих лучей, как показано на рисунке:
Пусть интенсивность луча на входе в среду равна I0, а его путь в среде – l. Выделим малый участок луча внутри среды длиной x. Ввиду малости участка, вносимое им затухание будет пропорционально его длине. В этом случае интенсивность I´ луча после участка будет связана с интенсивностью I´0 луча перед участком следующим соотношением:
.
Величина
описывает поглощающие свойства среды
в точке (x,y)
расположения рассматриваемого участка
луча. Назовем функцию
коэффициентом затухания среды. Вдоль
пути луча коэффициент затухания будет
зависеть только от одной координаты;
поэтому вместо
можно использовать величину
.
Преобразуем выражение :
;
;
.
Учитывая, что величина x мала, логарифм в правой части получившегося выражения можно разложить в ряд Тейлора и использовать первый линейный член ряда:
.
Подставляя последнее выражение в , получим:
.
Введем некоторую величину L,
равную логарифму интенсивности излучения:
.
В этом случае соотношение запишется
как
.
Суммируя затухания вдоль таких малых участках луча на протяжении всего его пути в среде, получим, что
.
Переходя к интенсивности излучения, получим что
,
,
или
.
Искомое выражение связывает интенсивность луча на выходе из среды с интенсивностью на входе и свойствами среды.
В дальнейшем более удобно будет пользоваться не величинами интенсивности, а вспомогательными величинами, равными логарифму интенсивности. В этом в качестве уравнения прохождения луча через среду с поглощением используется соотношение .
Преобразование Радона
Пусть на плоскости задана система координат (x, y) и функция f(x, y). Проинтегрируем эту функцию вдоль некоторой прямой L, заданной следующим соотношением
,
где s - расстояние от начала координат до линии, вдоль которой осуществляется интегрирование, - угол между осью ОХ и перпендикуляром к направлению интегрирования (pис. 1)
|
|
Рис. 1. |
Рис. 2. |
Результатом интегрирования является функция
.
Выражение это интегральное преобразование,
которое называется преобразованием
Радона. Функцию
для фиксированного угла
называют проекцией.
Существует несколько форм записи преобразования Радона. Одна из них представлена выражением . Преобразуем это выражение. Для этого введем систему координат, повернутую относительно исходной на угол (рис.2), и запишем интеграл для в новой системе координат.
При повороте системы координат координаты преобразуются следующим образом:
Коэффициенты Ламэ при таком преобразовании
равны 1 и, следовательно, элемент площади
Подставив полученные выражения в соотношение , получим
.
После интегрирования (используя фильтрующее свойство дельта-функции) получим другую форму представления преобразования Радона:
.
Рассмотрим основные свойства преобразования Радона.
Преобразование Радона линейно.
Доказательство. Представим функцию
в виде взвешенной суммы функций
:
.
Подставим последнее соотношение в выражение . В результате получим
Поменяем местами операции интегрирования и суммирования в полученном выражении:
,
где
– преобразование Радона функции .
Преобразование Радона периодично по с периодом 2, то есть
.
Как и в предыдущем случае доказательство тривиально:
.
В силу периодичности функций
и
получим
искомое соотношение.
Преобразование Радона симметрично относительно разворота, т.е. для преобразования Радона выполняется следующее соотношение
.
Для доказательства воспользуемся соотношением
Так как
то
.
Из этого свойства следует, что преобразование Радона можно определить для одного из двух интервалов:
,
и
.