- •Оглавление
- •Общие методические указания по изучению дисциплины
- •Основные теоретические положения математического анализа
- •Теория множеств
- •Основные свойства и графики элементарных функций
- •Предел функции, непрерывность функции, производная функции
- •Анализ функций одной и двух переменных
- •Интегрирование функций
- •Определенный интеграл, основные теоремы
- •Способы интегрирования
- •Дифференциальные уравнения
- •Понятие дифференциального уравнения
- •Дифференциальные уравнения первого порядка Общие сведения
- •Уравнение первого порядка с разделяющимися переменными
- •Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
- •Линейное уравнение первого порядка
- •Векторная алгебра
- •Понятие вектора и линейные операции над векторами Понятие вектора
- •Линейные операции над векторами
- •Свойства сложения векторов:
- •Понятие линейной зависимости векторов
- •Линейные комбинации двух векторов
- •Линейные комбинации трех векторов
- •Понятие базиса. Аффинные координаты
- •Проекция вектора на ось
- •Декартова прямоугольная система координат (дпск) в пространстве.
- •Полярная система координат
- •Скалярное произведение двух векторов Определение скалярного произведения (сп)
- •Геометрические свойства сп
- •Алгебраические свойства сп
- •Выражение скалярного произведения (сп) в декартовых прямоугольных координатах (дпк)
- •Векторное произведение двух векторов Правые и левые тройки векторов и системы координат
- •Векторное произведение двух векторов (вп)
- •Геометрические свойства вп
- •Алгебраические свойства векторного произведения (вп)
- •Понятие матрицы и определителя второго и третьего порядка
- •Выражение векторного произведения (вп) в декартовых прямоугольных координатах (дпк)
- •Смешанное произведение трех векторов
- •Выражение смешанного произведения в декартовых координатах
- •Аналитическая геометрия на плоскости
- •Различные виды уравнений прямой на плоскости Общее уравнение прямой
- •Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •Уравнение прямой в отрезках
- •Каноническое уравнение прямой
- •Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых
- •Кривые второго порядка
- •Эллипс Определение эллипса и вывод его канонического уравнения
- •Исследование формы эллипса
- •Эксцентриситет эллипса
- •Гипербола Определение гиперболы и вывод ее канонического уравнения
- •Исследование формы гиперболы
- •Асимптоты гиперболы
- •Равнобочная гипербола
- •Сопряженная гипербола
- •Эксцентриситет и фокальные радиусы гиперболы
- •Парабола Определение параболы и ее уравнение
- •Исследование формы параболы
- •Общее свойство кривых второго порядка - эллипса, гиперболы и параболы Директриса эллипса, гиперболы и параболы
- •Аналитическая геометрия в пространстве Плоскость как поверхность первого порядка
- •Неполные уравнения плоскости
- •Уравнение плоскости в отрезках
- •Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости
- •Уравнение прямой в пространстве
- •Направляющий вектор прямой. Канонические уравнения прямой. Параметрические уравнения прямой
- •Некоторые дополнительные предложения и примеры
- •Линейная алгебра
- •Матрицы. Основные определения
- •Действия над матрицами
- •Обратная матрица
- •Системы линейных уравнений Система линейных уравнений
- •Методы решения системы n линейных уравнений с n неизвестными
- •Методы решения системы m линейных уравнений с n неизвестными. Метод Гаусса
- •Система m линейных уравнений с n переменными
- •Задачи оптимизации
- •Математические модели оптимизации
- •Задачи линейного программирования
- •Задачи динамического программирования
- •Примеры решения типовых задач Задачи по математическому анализу, линейной алгебре и методам оптимизации
- •Варианты заданий к контрольным работам
- •Контрольная работа №1
- •Задача 6. Аналитическая геометрия на плоскости а) Линии первого порядка
- •Контрольная работа №2
- •Задачи для самостоятельной работы Пределы и непрерывность
- •Производная и ее применение
- •Определенный интеграл
- •Несобственные интегралы
- •1. Дифференциальные уравнения первого порядка
- •2. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
- •Вопросы к зачету
- •Определенный интеграл, основные теоремы.
- •Вопросы к экзамену
- •Определенный интеграл, основные теоремы.
- •Системы линейных уравнений.
- •Задачи линейного программирования.
- •Литература
- •К.Т.Н., доц. Тугуз Юрий Рамазанович Математика
- •Учебно-методическое пособие
- •344002, Г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 70
-
Линейное уравнение первого порядка
Линейным уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной, называется уравнение вида
y' + p(x)y = f(x), (1)
которое при f(x)=0 называется однородным, а при f(x) ≠0 – неоднородным.
Для однородного линейного уравнения y′+ р(х)у=0 переменные разделяются, и, поделив это уравнение на у, мы можем при у≠0 переписать его в виде
. (2)
Интегрирование уравнения (2) приводит к равенству
, (3)
в котором С1 обозначает произвольную положительную постоянную. Равенство (3) в свою очередь можно переписать в виде двух равенств
,
.
Из этих двух равенств вытекает, что
, (4)
, (5)
где С1, как и выше, принимает любые положительные значения.
Равенства (4) и (5) можно объединить и записать в виде одного равенства
, (6)
в котором постоянная С≠ 0 принимает любые строго положительные и любые строго отрицательные значения. Функция (6) с такой постоянной С является при у≠0 решением дифференциального уравнения (2), а потому и решением однородного линейного уравнения.
Остается заметить, что при получении уравнения (2) из указанного однородного линейного уравнения мы производили деление на у и вследствие этого потеряли решение у=0.
Учитывая, что потерянное решение у = 0 может быть включено в найденное нами семейство решений (6), если допустить, что постоянная С может быть равна нулю, мы окончательно получим, что общее решение однородного линейного уравнения у' + p(x)y=0 определяется равенством (6), в котором С является совершенно произвольной постоянной.
Для отыскания решения неоднородного линейного уравнения (1) применим так называемый метод вариации постоянной, заключающийся в том, что решение неоднородного уравнения (1) ищется в том же виде (6), что и решение однородного уравнения, но при условии, что С является не постоянной величиной, а искомой функцией С(х). Фактически мы переходим в неоднородном уравнении (1) от искомой функции у(х) к новой искомой функции С(х) с помощью равенства
. (7)
Дифференцируя равенство (7), получим, что
, (8)
Подставляя у и у', определяемые равенствами (7) и (8), в уравнение (1), мы получим следующее уравнение:
для определения искомой функции С(х). Из этого уравнения заключаем, что
, (9)
где С — произвольная постоянная.
Подставляя найденное значение (9) функции С(х) в равенство (7), мы получим, что общее решение неоднородного уравнения (1) определяется равенством
, (10)
в котором С обозначает произвольную постоянную.
Таким образом, общее решение неоднородного уравнения (1) равно сумме общего решения (6) соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения
,
получающегося из (10) при С = 0.
В качестве примера проинтегрируем неоднородное линейное уравнение . Сначала находим общее решение соответствующего однородного уравнения , являющегося однородным линейным уравнением у'+р(х)у=0 с функцией. Общее решение этого уравнения, определяемое равенством (6), приводится к виду у = Сх, где С— произвольная постоянная. Теперь варьируем постоянную С и ищем решение неоднородного уравнения в виде у=С(x)x. Подставляя это значение у и значение производной у'=С'(х)х+С(x) в неоднородное уравнение, получим, что С'(х)х=х2, откуда следует, что и потому, где С – произвольная постоянная.