Исследование формы параболы

Для определения вида параболы найдем у из канонического уравнения параболы:

.

Из уравнения (19) следует, что х не может быть отрицательным. При х=0, y = 0, следовательно, точка О(0;0) лежит на параболе. Затем заключаем, что каждому значению х>0 соответствует два значения у, равных по абсолютной величине, но противоположных по знаку. Следовательно, парабола представляет собой кривую, расположенную вправо от начала координат и симметричную относительно оси абсцисс (рис.7).

Рис. 8

Из формулы (19) следует, что по мере возрастания х возрастает и |у|, и когда х неограниченно растет, то и у по абсолютной величине неограниченно растет.

У параболы, заданной каноническим уравнением у²=2рх, осью симметрии является ось абсцисс. Точка пересечения параболы с осью симметрии называется вершиной параболы. В данном случае вершина параболы лежит в начале координат. Заметим, что у параболы одна вершина, у гиперболы - две, у эллипса - четыре.

Проведем на рис. 8 фокальный радиус перпендикулярно оси симметрии и определим длину LF по формуле (20). Так как абсцисса точки L равна , то r=р. Следовательно, число Р равняется длине фокального радиуса, перпендикулярного оси симметрии. В связи с этим число Р называют фокальным параметром параболы.

Парабола, уравнение которой у²=2рх, р>0, является кривой, расположенной справа от оси ординат.

Кривая, уравнение которой у²=-2рх, р>0, будет также параболой. Вершина этой параболы лежит в начале координат, осью симметрии является ось абсцисс. Все точки этой параболы лежат слева от оси ординат (рис. 9, а)

а)	б)	в)

Рис. 9

Рассуждая аналогичным образом, заключаем, что уравнение х²=2ру, р>0, является уравнением параболы, вершина которой лежит в начале координат, осью симметрии является ось ординат (рис. 9, б). Эта парабола лежит выше оси абсцисс. Уравнение же вида х²=-2ру, р>0, является уравнением параболы, лежащей ниже оси абсцисс, с вершиной в начале координат. Осью симметрии этой параболы является ось ординат. (рис. 9, в).

Примечание. Условимся, наглядности ради, говорить, что ветви параболы у²=2рх (р>0) направлены вправо, ветви параболы х²=2ру (р>0) направлены вверх и т. д.

Общее свойство кривых второго порядка - эллипса, гиперболы и параболы Директриса эллипса, гиперболы и параболы

Построим эллипс, заданный каноническим уравнением . Затем построим две прямые, перпендикулярные к большой оси эллипса, на расстоянии (рис. 10). Эти прямые, уравнения которых будут: и , называются директрисами эллипса.

Рис. 10

При их построении следует учесть, что >a, так как эксцентриситет эллипса >1.

Правая директриса, уравнение которой , будет проходить правее вершины эллипса А₁, а левая директриса, уравнение которой , – левее вершины эллипса А₂ (рис. 10).

Построим гиперболу, заданную каноническим уравнением

,

и две прямые, перпендикулярные действительной оси гиперболы и симметрично расположенные относительно центра на расстоянии, равном (рис. 11):

Рис.11

Эти прямые (их уравнения и ) называются директрисами гиперболы (соответственно, правой и левой).

При их построении следует учесть, что <a, так как эксцентриситет гиперболы >1.

Правая директриса гиперболы будет проходить левее правой вершины гиперболы А₁, а левая директриса гиперболы будет проходить правее левой вершины гиперболы А₂.

С помощью директрис и эксцентриситета можно выявить общее свойство, присущее кривым второго порядка: эллипсу, гиперболе и параболе. Имеет место следующая теорема: отношение расстояний от произвольной точки М(х;у) любой из этих кривых до фокуса и до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету кривой.

Следствие. Для рассматриваемых кривых второго порядка можно дать следующее общее определение: кривые второго порядка есть геометрические места точек на плоскости, отношение расстояний которых до фокуса и до соответствующей директрисы есть величина постоянная, равная , причем у эллипса <1, у гиперболы >1, у параболы =1.