- •Оглавление
- •Общие методические указания по изучению дисциплины
- •Основные теоретические положения математического анализа
- •Теория множеств
- •Основные свойства и графики элементарных функций
- •Предел функции, непрерывность функции, производная функции
- •Анализ функций одной и двух переменных
- •Интегрирование функций
- •Определенный интеграл, основные теоремы
- •Способы интегрирования
- •Дифференциальные уравнения
- •Понятие дифференциального уравнения
- •Дифференциальные уравнения первого порядка Общие сведения
- •Уравнение первого порядка с разделяющимися переменными
- •Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
- •Линейное уравнение первого порядка
- •Векторная алгебра
- •Понятие вектора и линейные операции над векторами Понятие вектора
- •Линейные операции над векторами
- •Свойства сложения векторов:
- •Понятие линейной зависимости векторов
- •Линейные комбинации двух векторов
- •Линейные комбинации трех векторов
- •Понятие базиса. Аффинные координаты
- •Проекция вектора на ось
- •Декартова прямоугольная система координат (дпск) в пространстве.
- •Полярная система координат
- •Скалярное произведение двух векторов Определение скалярного произведения (сп)
- •Геометрические свойства сп
- •Алгебраические свойства сп
- •Выражение скалярного произведения (сп) в декартовых прямоугольных координатах (дпк)
- •Векторное произведение двух векторов Правые и левые тройки векторов и системы координат
- •Векторное произведение двух векторов (вп)
- •Геометрические свойства вп
- •Алгебраические свойства векторного произведения (вп)
- •Понятие матрицы и определителя второго и третьего порядка
- •Выражение векторного произведения (вп) в декартовых прямоугольных координатах (дпк)
- •Смешанное произведение трех векторов
- •Выражение смешанного произведения в декартовых координатах
- •Аналитическая геометрия на плоскости
- •Различные виды уравнений прямой на плоскости Общее уравнение прямой
- •Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •Уравнение прямой в отрезках
- •Каноническое уравнение прямой
- •Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых
- •Кривые второго порядка
- •Эллипс Определение эллипса и вывод его канонического уравнения
- •Исследование формы эллипса
- •Эксцентриситет эллипса
- •Гипербола Определение гиперболы и вывод ее канонического уравнения
- •Исследование формы гиперболы
- •Асимптоты гиперболы
- •Равнобочная гипербола
- •Сопряженная гипербола
- •Эксцентриситет и фокальные радиусы гиперболы
- •Парабола Определение параболы и ее уравнение
- •Исследование формы параболы
- •Общее свойство кривых второго порядка - эллипса, гиперболы и параболы Директриса эллипса, гиперболы и параболы
- •Аналитическая геометрия в пространстве Плоскость как поверхность первого порядка
- •Неполные уравнения плоскости
- •Уравнение плоскости в отрезках
- •Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости
- •Уравнение прямой в пространстве
- •Направляющий вектор прямой. Канонические уравнения прямой. Параметрические уравнения прямой
- •Некоторые дополнительные предложения и примеры
- •Линейная алгебра
- •Матрицы. Основные определения
- •Действия над матрицами
- •Обратная матрица
- •Системы линейных уравнений Система линейных уравнений
- •Методы решения системы n линейных уравнений с n неизвестными
- •Методы решения системы m линейных уравнений с n неизвестными. Метод Гаусса
- •Система m линейных уравнений с n переменными
- •Задачи оптимизации
- •Математические модели оптимизации
- •Задачи линейного программирования
- •Задачи динамического программирования
- •Примеры решения типовых задач Задачи по математическому анализу, линейной алгебре и методам оптимизации
- •Варианты заданий к контрольным работам
- •Контрольная работа №1
- •Задача 6. Аналитическая геометрия на плоскости а) Линии первого порядка
- •Контрольная работа №2
- •Задачи для самостоятельной работы Пределы и непрерывность
- •Производная и ее применение
- •Определенный интеграл
- •Несобственные интегралы
- •1. Дифференциальные уравнения первого порядка
- •2. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
- •Вопросы к зачету
- •Определенный интеграл, основные теоремы.
- •Вопросы к экзамену
- •Определенный интеграл, основные теоремы.
- •Системы линейных уравнений.
- •Задачи линейного программирования.
- •Литература
- •К.Т.Н., доц. Тугуз Юрий Рамазанович Математика
- •Учебно-методическое пособие
- •344002, Г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 70
Методы решения системы m линейных уравнений с n неизвестными. Метод Гаусса
Рассмотрим решение системы m линейных уравнений с n переменными в общем виде:
(6)
Метод Гаусса – метод последовательного исключения переменных – заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.
Предположим, что в системе (6) коэффициент при первой переменной x1 в первом уравнении a11≠0 ( если это не так, то перестановкой уравнений местами добьемся того, что a11≠0).
Шаг 1. Умножая первое уравнение на подходящие числа (а именно на -a21/a11, - a31/a11,…., -am1/a11) и прибавляя полученные уравнения соответственно ко второму, третьему,….., m –му уравнению системы (1), исключим переменную x1 из всех последующих уравнений, начиная со второго. Получим:
(7)
Где буквами с верхним индексом (1) обозначены новые коэффициенты, полученные после первого шага.
Шаг 2. Предположим, что a(1)22≠0 ( если это не так, то соответствующей перестановкой уравнений или переменных с изменением их номеров добьемся того, чтобы a(1)22≠0).
Умножая второе уравнение на подходящие числа (-a(1)32/a(1)22, -a(1)42/a(1)22,…, -a(1)m2/a(1)22) и прибавляя полученные уравнения соответственно к третьему, четвертому,….., m- му уравнению системы, исключим переменную x2 из всех последующих уравнений, начиная с третьего.
Продолжая процесс последовательного исключения переменных x3,x4,…,xr-1, после (r-1) –го шага получим систему
(8)
Число нуль в последних m-r уравнениях означает, что их левые части имеют вид 0*x1+0*x2+….+0*xn. Если хотя бы одно из чисел не равно нулю, то соответствующее равенство противоречиво, и система (6) несовместна.
Таким образом, для любой совместной системы числа в системе (8) равны нулю. В этом случае последние m-r уравнений в системе (8) являются тождествами и их можно не принимать во внимание при решении системы (6). Очевидно, что после отбрасывания «лишних» уравнений возможны два случая: а) число уравнений системы равно числу переменных, т.е. r=n (в этом случае система (8) имеет треугольный вид); б) r<n ( в этом случае система (8) имеет ступенчатый вид).
Переход системы (6) к равносильной ей системе (8) называется прямым ходом метода Гаусса, а нахождение переменных из системы (8) – обратным ходом.
Преобразования Гаусса удобно проводить, осуществляя преобразования не с самими уравнениями, а с матрицей их коэффициентов. Рассмотрим матрицу
, (9)
называемую расширенной матрицей системы (6) , ибо в нее, кроме матрицы системы А, дополнительно включен столбец свободных членов.
Пример.
Решить систему уравнений:
Решение. Расширенная матрица системы имеет вид:
.
Шаг 1. Так как a11≠0, то, умножая первую строку на число (-2) и прибавляя соответственно ко второй и третьей, четвертой строкам, исключим переменную x1 из всех строк, начиная со второй. Заметив, что в новой матрице , поменяем местами вторую и третью строки:
.
Шаг 2. Так как теперь , то, умножая вторую строку на (-7/4) и прибавляя полученную строку к четвертой, исключим переменную x2 из всех строк, начиная с третьей:
Шаг 3. Учитывая, что , умножаем третью строку на 13,5/8=27/16 и, прибавляя полученную строку к четвертой, исключим из нее переменную x3. Получим систему уравнений:
Откуда, используя обратный ход метода Гаусса, найдем из четвертого уравнения x4=-2; из третьего ; из второго и из первого уравнения
x1=6+2x4-3x3-2x2=6+2(-2)-3(-1)-2*2=1, т.е. решение системы (1;2;-1;2).
Пример2. Методом Гаусса решить систему уравнений:
Решение. Преобразуем расширенную матрицу системы
.
Итак, уравнение, соответствующее третьей строке последней матрицы, противоречиво – оно привелось к неверному равенству 0=-1, следовательно данная система несовместна.