Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Пусть прямая не параллельна оси Ox, тогда в уравнении (1) коэффициент . Углом наклона этой прямой к оси Ox назовем угол , образованный прямой с положительным направлением оси Ox.

Если прямая параллельна оси Ox, то угол наклона  будем считать равным нулю.

Угловым коэффициентом прямой назовем тангенс угла наклона этой прямой к оси Ox, .

Для прямой, параллельной оси Ox, угловой коэффициент равен 0, а для прямой, перпендикулярной оси Ox, угловой коэффициент не существует .

Из уравнения (3) и того, что - нормальный вектор прямой, следует, что .

Отсюда получим уравнение прямой с угловым коэффициентом в виде . Если обозначить , то последнее уравнение примет вид

(4)

Это уравнение и называется уравнением прямой с угловым коэффициентом. Здесь k- угловой коэффициент данной прямой, а b – отрезок, отсекаемый данной прямой на оси Oy, начиная от начала координат (при ).

Уравнение пучка прямых, проходящих через точку : .

Уравнение прямой в отрезках

Рассмотрим полное (все коэффициенты A, B и C отличны от нуля) уравнение прямой

.

Его можно записать в виде (так как )

и затем положить . Получим .

Последнее уравнение называется уравнением прямой “в отрезках”. Числа a и b равны соответственно величинам отрезков, отсекаемых прямой на осях Ox и Oy соответственно.

Каноническое уравнение прямой

Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой, назовем направляющим вектором этой прямой.

Найдем уравнение прямой, проходящей через данную точку и имеющей заданный направляющий вектор .

Точка лежит на указанной прямой тогда и только тогда, когда векторы коллинеарны, т.е. когда их координаты пропорциональны:

(5)

Это уравнение обычно называют каноническим уравнением прямой.

В уравнении (5) одно из чисел l или m может равняться нулю, так как это координаты вектора. Например, уравнение оси Ox запишется так: .

Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых

1). Пусть прямые L₁ и L₂ заданы общими уравнениями

.

Задача об определении угла между прямыми сводится к определению угла между нормальными векторами этих прямых:

. (6)

Условие параллельности прямых L₁ и L₂ эквивалентно коллинеарности их нормальных векторов :

.

Условие перпендикулярности прямых L₁ и L₂ получаем из формулы (6) при cos:

.

2). Если прямые L₁ и L₂ заданы каноническими уравнениями

,

то, рассматривая их направляющие векторы , аналогично случаю 1) имеем:

. (7)

Условие параллельности прямых L₁ и L₂ :

.

Условие перпендикулярности прямых L₁ и L₂ :

. (8)

3). Пусть прямые L₁ и L₂ заданы уравнениями с угловым коэффициентом .

Здесь - углы наклона прямых L1 и L2 к оси Ox, а - один из углов между этими прямыми. Из рисунка видно, что .

Отсюда

.

Т.е. угол между прямыми L₁ и L₂ определяется по формуле:

(9)

Если в этой формуле поменять местами k₁ и k₂ , то формула определит нам угол между прямыми, смежный к прежнему углу. Так как эти два угла в сумме равны  и их тангенсы отличаются только знаком.

Прямые параллельны, если tg, т.е. k₁=k₂ .

Условие перпендикулярности прямых L₁ и L₂ получим из формулы (8), т.к. tg не существует при .

Условие перпендикулярности прямых L₁ и L₂ запишем в виде:

.

Формула для вычисления расстояния d от точки до прямой :

.