2. Задачи линейного программирования

Типичной задачей линейного программирования является следующая: найти максимум линейной функции при условиях

где c_j,a_ij и b_i – заданные числа.

Задачи линейного программирования являются математическими моделями многочисленных задач технико-экономического содержания. Рассмотрим несколько типичных задач.

Задача о рационе.

По заданному ассортименту продуктов, при известном содержании в каждом из них питательных веществ и известной стоимости продуктов, составить рацион, удовлетворяющий необходимым потребностям, с минимальными денежными затратами.

Пусть имеются n различных продуктов и m питательных веществ (например, жиров, белков, углеводов, витаминов и др.). Обозначим через a_ij содержание (в единицах массы) j-го питательного вещества в единице массы i-го продукта; через b_j обозначим минимальную (в единицах массы) суточную потребность в j-м питательном веществе. Наконец, через x_i обозначим искомое суточное потребление i-го продукта. Очевидно, что x_i≥0.

Величина есть общее содержание j-го питательного вещества в рационе, которое не должно быть меньше минимальной потребности b_i:

Если c_i –стоимость единицы массы i-го продукта, то стоимость всего рациона определяет линейная форма .

Итак, математическая формулировка задачи выбора рациона состоит в следующем:

Найти

при условиях

Эта задача является одной из типичных задач линейного программирования.

В постановке задачи вовсе не обязательно было указывать, что это задача о рационе. Достаточно ясно, что таким же образом могут быть сформулированы многочисленные задачи об оптимальных смесях (слово «смесь» здесь следует понимать в обобщенном смысле: это и собственно смесь, и сплав, и рацион, и т.д.).

Транспортная задача.

Требуется составить план перевозок груза таким образом, чтобы общая стоимость перевозок была минимальной.

Исходная информация:

а_i – количество единиц груза в i-м пункте отправления (i=1,…,m);

b_j – потребность в j-м пункте назначения (j=1,…,n) в единицах груза;

c_ij-стоимость перевозки единицы груза из i-го пункта в j-й.

Обозначим через x_ij планируемое количество единиц груза для перевозки из i-го пункта в j-й.

В принятых обозначениях:

– общая (суммарная) стоимость перевозок;

– количество груза, вывозимого из i-го пункта;

– количество груза, доставляемого в j-й пункт.

В простейшем случае должны выполняться следующие очевидные условия:

Таким образом, математической формулировкой транспортной задачи будет:

при условиях

Эта задача носит название замкнутой транспортной модели.

Заметим, что условие

служит естественным условием разрешимости замкнутой транспортной задачи.

Более общей транспортной задачей является так называемая открытая транспортная модель:

найти

при условиях

Ясно, что в этой задаче не предполагается, что весь груз, накопленный в i-м пункте, должен быть вывезен.

В схему транспортной задачи укладываются и некоторые другие задачи технико-экономического содержания, например, так называемая «задача о выборе»: задача о наиболее экономном (в смысле суммарных затрат времени) распределении n работ между n исполнителями при известном времени, затрачиваемом каждым исполнителем на каждой работе. Данная задача является частной моделью замкнутой транспортной задачи при m=n и всех a_i=b_i=1.

Заметим, что решения транспортных задач обладают свойствами целочисленности, и поэтому эти задачи относят к задачам линейного программирования, в которых целочисленность выступает как необходимое дополнительное условие.

Решение основной задачи линейного программирования геометрическим методом является наглядным в случае двух и даже трех переменных. Для случая большего числа переменных геометрический метод становится невозможным.

Одним из основных аналитических методов решения задач линейного программирования является симплекс-метод. Система ограничений в вычислительных методах обычно задается системой линейных уравнений:

a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1nx_n=b₁,

a₂₁x₁+a₂₂x₂+…+a_2nx_n=b₂,

…

a_m1x₁+a_m2x₂+…a_mnx_n=b_m,

и среди неотрицательных решений надо найти такие, которые максимизировали бы линейную функцию

L=c₁x₁+c₂x₂+…+c_nx_n+c₀.

Выразим x₁, x₂,…,x_r (rm) через остальные переменные:

x₁=a’_1,r+1x_r+1+…+a’_1nx_n+b’₁,

x₂=a’_2,r+1x_r+1+…+a’_2nx_n+b’₂,

…

x_r=a’_r,r+1x_r+1…+a’_rnx_n+b’_r,

где b’₁0, b’₂0,…,b’_r0. Если ограничительные условия заданы неравенствами, то их можно преобразовать в равенства путем введения новых неотрицательных переменных, так называемых балансовых (выравнивающих). Например, в неравенстве a₁x₁+a₂x₂+…+a_nx_nb достаточно добавить к левой части некоторую величину x_n+10 и получится равенство

a₁x₁+a₂x₂+…+a_nx_n+x_n+1=b.

Ограничительные условия могут задаваться и смешанным образом, т.е. неравенствами и уравнениями, тогда указанным путем их можно свести только к уравнениям. Переменные (неизвестные) x₁, x₂,…,x_r называются базисными, а весь набор {x₁, x₂, …, x_r} – базисом, остальные переменные называются свободными, система ограничений называется системой, приведенной к единичному базису. Подставляя в линейную систему формы L вместо базисных переменных их выражения через свободные из системы, получим

L=₀+_r+1x_r+1+…+_nx_n.

Теперь, полагая все свободные переменные равными нулю, найдем значения базисных переменных: x₁=b’₁, x₂=b’₂,…,x_r=b’_r. Таким образом, решение (b’₁,…,b’_r,0,…,0) системы является допустимым – оно называется базисным. Для получения базисного решения значения линейной формы полагаем L_Б=₀. Решение задачи с помощью симплекс-метода распадается на ряд шагов, заключающихся в том, что от данного базиса Б мы переходим к другому базису Б’ с таким расчетом, чтобы значение L_Б уменьшалось или, по крайней мере, не увеличивалось, т.е. L_Б’L_Б.

Если система ограничений сведена к единому базису:

x₁+…+a_1,r+1x_r+1+…+a_1nx_n=b₁,

x_i+….+a_i,r+1x_r+1+…+a_inx_n=b_i,

…

x_r+…+a_r,r+1x_r+1…+a_rnx_n=b_r,

а линейная форма L – к виду

L+_r+1x_r+1+…+_jx_j+…+_nx_n=₀,

то эти данные можно представить в виде таблицы

Базисные переменные	Свободные члены	x1	…	xi	…	xr	xr+1	…	xj	…	xn
x1	b1	1	…	0	…	0	a1,r+1	…	a1i	…	a1n
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
xi	bi	0	…	1	…	0	ai,r+1	…	aij	…	ain
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…
xr	br	0	…	0	…	1	ar,r+1	…	arj	…	arn
L	0	0	…	0	…	0	r+1	…	j	…	n

Равенство L+_r+1x_r+1+…+_jx_j+…+_nx_n=₀ будем называть приведенным (к свободным переменным) выражением для функции L, а коэффициенты _j -оценками (индексами) соответствующих свободных переменных xj. Алгоритм метода будет выглядеть следующим образом:

Выбирают разрешающий столбец a_p из условия: оценка _p<0 и хотя бы один элемент a_ip>0.

Выбирают q–ю разрешающую строку из условия b_q/a_qp=min{b_i/a_ip} для a_ij>0.

Производят пересчет элементов разрешающей q-й строки по формуле a’_qk=a_qk/a_qp (k=-,1,…,n).

Вычисляют элементы всех остальных строк (при kp) по формуле a’_ik=a_ik-a’_qka_ip (i=0,1,…,q-1,q+1,…,r).