- •Оглавление
- •Общие методические указания по изучению дисциплины
- •Основные теоретические положения математического анализа
- •Теория множеств
- •Основные свойства и графики элементарных функций
- •Предел функции, непрерывность функции, производная функции
- •Анализ функций одной и двух переменных
- •Интегрирование функций
- •Определенный интеграл, основные теоремы
- •Способы интегрирования
- •Дифференциальные уравнения
- •Понятие дифференциального уравнения
- •Дифференциальные уравнения первого порядка Общие сведения
- •Уравнение первого порядка с разделяющимися переменными
- •Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
- •Линейное уравнение первого порядка
- •Векторная алгебра
- •Понятие вектора и линейные операции над векторами Понятие вектора
- •Линейные операции над векторами
- •Свойства сложения векторов:
- •Понятие линейной зависимости векторов
- •Линейные комбинации двух векторов
- •Линейные комбинации трех векторов
- •Понятие базиса. Аффинные координаты
- •Проекция вектора на ось
- •Декартова прямоугольная система координат (дпск) в пространстве.
- •Полярная система координат
- •Скалярное произведение двух векторов Определение скалярного произведения (сп)
- •Геометрические свойства сп
- •Алгебраические свойства сп
- •Выражение скалярного произведения (сп) в декартовых прямоугольных координатах (дпк)
- •Векторное произведение двух векторов Правые и левые тройки векторов и системы координат
- •Векторное произведение двух векторов (вп)
- •Геометрические свойства вп
- •Алгебраические свойства векторного произведения (вп)
- •Понятие матрицы и определителя второго и третьего порядка
- •Выражение векторного произведения (вп) в декартовых прямоугольных координатах (дпк)
- •Смешанное произведение трех векторов
- •Выражение смешанного произведения в декартовых координатах
- •Аналитическая геометрия на плоскости
- •Различные виды уравнений прямой на плоскости Общее уравнение прямой
- •Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •Уравнение прямой в отрезках
- •Каноническое уравнение прямой
- •Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых
- •Кривые второго порядка
- •Эллипс Определение эллипса и вывод его канонического уравнения
- •Исследование формы эллипса
- •Эксцентриситет эллипса
- •Гипербола Определение гиперболы и вывод ее канонического уравнения
- •Исследование формы гиперболы
- •Асимптоты гиперболы
- •Равнобочная гипербола
- •Сопряженная гипербола
- •Эксцентриситет и фокальные радиусы гиперболы
- •Парабола Определение параболы и ее уравнение
- •Исследование формы параболы
- •Общее свойство кривых второго порядка - эллипса, гиперболы и параболы Директриса эллипса, гиперболы и параболы
- •Аналитическая геометрия в пространстве Плоскость как поверхность первого порядка
- •Неполные уравнения плоскости
- •Уравнение плоскости в отрезках
- •Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости
- •Уравнение прямой в пространстве
- •Направляющий вектор прямой. Канонические уравнения прямой. Параметрические уравнения прямой
- •Некоторые дополнительные предложения и примеры
- •Линейная алгебра
- •Матрицы. Основные определения
- •Действия над матрицами
- •Обратная матрица
- •Системы линейных уравнений Система линейных уравнений
- •Методы решения системы n линейных уравнений с n неизвестными
- •Методы решения системы m линейных уравнений с n неизвестными. Метод Гаусса
- •Система m линейных уравнений с n переменными
- •Задачи оптимизации
- •Математические модели оптимизации
- •Задачи линейного программирования
- •Задачи динамического программирования
- •Примеры решения типовых задач Задачи по математическому анализу, линейной алгебре и методам оптимизации
- •Варианты заданий к контрольным работам
- •Контрольная работа №1
- •Задача 6. Аналитическая геометрия на плоскости а) Линии первого порядка
- •Контрольная работа №2
- •Задачи для самостоятельной работы Пределы и непрерывность
- •Производная и ее применение
- •Определенный интеграл
- •Несобственные интегралы
- •1. Дифференциальные уравнения первого порядка
- •2. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
- •Вопросы к зачету
- •Определенный интеграл, основные теоремы.
- •Вопросы к экзамену
- •Определенный интеграл, основные теоремы.
- •Системы линейных уравнений.
- •Задачи линейного программирования.
- •Литература
- •К.Т.Н., доц. Тугуз Юрий Рамазанович Математика
- •Учебно-методическое пособие
- •344002, Г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 70
Некоторые дополнительные предложения и примеры
-
В аналитической геометрии часто требуется составить уравнение прямой, зная две ее точки. Решим эту задачу в общем виде, считая данными две произвольные точки:
М1(x1;y1; z1) и М2(x2;y2; z2).
Для решения задачи достаточно заметить, что в качестве направляющего вектора рассматриваемой прямой можно взять вектор ; отсюда m=x2 - x1; n=y2 - y1; p=z2 - z1, окончательно получим
.
Это и есть искомые (канонические) уравнения прямой, проходящей через две данные точки: М1(x1;y1; z1) и М2(x2;y2; z2).
-
Решим также в общем виде задачу: составить уравнение плоскости, проходящей через три различные точки: М1(x1;y1; z1); М2(x2;y2; z2); М3(x3;y3; z3).
Обозначим через x, y, z координаты произвольной точки М пространства и рассмотрим три вектора:
,
,
.
Точка М лежит на плоскости М1М2М3 в том и только в том случае, когда векторы , и компланарны; условием компланарности этих трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения или равенство нулю определителя третьего порядка, составленного из их координат.
В нашем случае имеем:
.
Это и есть искомое уравнение плоскости, проходящей через точки М1, М2, М3, так как ему удовлетворяют координаты x, y, z точки М в том и только в том случае, когда она лежит в этой плоскости.
-
Угол между двумя прямыми.
Углом между двумя прямыми в пространстве называют любой из углов, образованных двумя прямыми, проведенными из одной точки параллельно данным прямым. Если прямые параллельны, то угол между ними считается равным нулю или .
Пусть даны уравнения двух прямых:
Обозначим угол между прямыми через , а угол между их направляющими векторами и - через . При этом
(1)
Так как = или = - , то cos=cos. Следовательно,
(2)
или в координатной форме:
(3)
Формулы (2) и (3) являются формулами для определения угла между двумя прямыми в пространстве.
-
Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве.
Для того, чтобы две прямые были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы их направляющие векторы и были коллинеарны, т.е. соответствующие координаты векторов и были пропорциональны:
(4)
Условие (4) является условием параллельности двух прямых в пространстве.
Для того, чтобы прямые были перпендикулярны между собой, необходимо и достаточно, чтобы направляющие их векторы и были ортогональными.
Условие ортогональности двух векторов и :
m1m2+n1n2+p1p2=0 (5)
является условием перпендикулярности двух прямых в пространстве.
Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точку М(3; 2; -1) перпендикулярно двум прямым:
; .
Составим уравнение любой прямой, проходящей через точку М:
(6)
Используя условие перпендикулярности искомой прямой к прямой а1, а затем к прямой а2, получим
2m-3n+5p=0,
4m+n-2p=0.
Из этой однородной структуры линейных уравнений с неизвестными m, n, p найдем отношения неизвестных:
.
Подставляя в уравнения прямой (6) вместо m, n, p пропорциональные им величины, получим искомые уравнения:
.
-
Углом между прямой и плоскостью называют любой из двух смежных углов, образованных прямой и ее проекцией на плоскость. Пусть дано уравнение плоскости П:
Ax+By+Cz+D=0
и уравнение прямой :
.
={А; В; С} – нормальный вектор плоскости;
={m; n; p} – направляющий вектор прямой.
Обозначим угол между векторами и через , а угол между плоскостью П и прямой - через . Найдем косинус угла между векторами и :
.
При этом sin=cos. Следовательно,
или, в координатной форме,
.
Для того, чтобы плоскость П была параллельна прямой , необходимо и достаточно, чтобы векторы ={А; В; С} и ={m; n; p} были ортогональны между собой.
Условие ортогональности двух векторов и может быть записано как равенство нулю их скалярного произведения:
()=0
или в координатной форме:
Am+Bn+Cp=0.
Для того, чтобы прямая была перпендикулярна плоскости П, необходимо и достаточно, чтобы вектор был коллинеарен вектору .
Условие коллинеарности двух векторов и может быть записано как равенство нулю их векторного произведения:
()=0
или
.
Пример. Составить уравнение плоскости П, проходящей через точку М(-1; 2; -3) параллельно двум прямым:
,
.
Напишем уравнение связки плоскостей с центром в точке М:
A(x+1)+B(y-2)+C(z+3)=0.
Используем условие параллельности плоскости П и прямой , а затем и прямой :
3А+4В+5С=0
2А-3В+С=0
Из этой системы однородных уравнений определим отношения коэффициентов А, В, С и затем в уравнение (4) вместо коэффициентов А, В, С подставим пропорциональные им величины:
;
11(x+1)+13(y-2)+17(z+3)=0;
11x+13y+17z+36=0.
-
Пучок плоскостей.
Через всякую прямую в пространстве можно провести бесчисленное множество плоскостей. Совокупность всех плоскостей, проходящих через одну и ту же прямую, называется пучком плоскостей.
Пусть дано уравнение прямой как линии пересечения двух плоскостей:
(7)
Составим уравнение:
A1x+B1y+C1z+D1+(A2x+B2y+C2z+D2)=0, (8)
где – произвольное число. При любом это уравнение первой степени, кроме того, при любом это уравнение определяет плоскость, проходящую через прямую (7).
Действительно, если точка М0 принадлежит прямой (7), то:
и, следовательно
A1x0+B1y0+C1z0+D1+(A2x0+B2y0+C2z0+D2)=0.
Уравнение (8) называется уравнением пучка плоскостей, проходящих через прямую (7).
Уравнение (8) дает любую плоскость пучка, за исключением плоскости
A2x+B2y+C2z+D2=0.
Пример. Найти проекцию прямой
На плоскость 3x-4y+z-8=0 (П).
Составим уравнение пучка плоскостей, проходящих через прямую (9):
2x-3y+4z-1+(x+5y-2z+3)=0 (10)
или (2+)x+(5-3)y+(4-2)z+(3-1)=0.
Определим , используя условие перпендикулярности плоскостей: 3(2+)-4(5-3)+(4-2)=0. Откуда . Подставив значение в уравнение (10), найдем уравнение проектирующей плоскости:
,
Уравнения искомой проекции можно записать как уравнения линии пересечения плоскостей:
Пример. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую параллельно прямой .
Решение. Составим уравнение пучка плоскостей, проходящих через первую из данных прямых:
3x+2y+5z+6+(x+4y+3z+4)=0 (*)
Преобразуем это уравнение: (3+)x+(2+4)y+(5+3)z+(6+4)=0. Используя условие параллельности прямой и плоскости получим: 3(3+)+2(2+4)-3(5+3)=0. Отсюда =1. Подставляя найденное значение в уравнение (*), найдем: 4x+6y+8z+10=0 или 2x+3y+4z+5=0.
Пример. Найти расстояние от точки М(1; 2; 3) до прямой
.
Решение. Проведем через М плоскость П, перпендикулярную к данной прямой и найдем точку Р, где эта плоскость пересекает данную прямую. Искомое расстояние от точки М до данной прямой будет равно расстоянию от точки М до точки Р.
Искомое уравнение плоскости П можно записать в виде:
A(x-1)+B(y-1)+C(z-1)=0;
эта плоскость должна быть перпендикулярна к данной прямой. По условию перпендикулярности прямой к плоскости имеем:
.
Выбирая здесь множитель пропорциональности для простоты равным единице, находим А=2, В=5, С=-2. Итак, плоскость имеет уравнение 2(x-1)+5(y-1)-2(z-1)=0 или 2x+5y-2z=0.
Теперь мы должны найти точку Р, в которой эта плоскость пересекается с данной прямой. Для этого нужно уравнение данной прямой решить совместно с найденным уравнением плоскости П:
.
Отсюда x=2t+11, y=5t+18, z=4-2t. Подставляя эти уравнения в уравнение найденной плоскости 2x+5y-2z-5=0, получим:
4t+22+25t+90+4t-8-5=0;
33t=-99;
t=-3.
Координаты точки Р будут равны x=5, y=3, z=10.
Искомое расстояние d от точки М до данной прямой, равное расстоянию между точками М и Р, найдется по формуле нахождения расстояния между двумя точками:
Пример. Определить условие, при котором две прямые
,
лежат на одной плоскости.
Решение. Пусть ={m1; n1; p1} и ={m2; n2; p2} - направляющие векторы данных прямых, М1(a1; b1; c1) и М2(a2; b2; c2) - точки, принадлежащие прямым и . Вектор ={a2-a1; b2-b1; c2-c1} и направляющие векторы прямых и компланарны в том и только в том случае, когда прямые и лежат в одной плоскости. Условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения: =0, что в координатной записи может быть представлено в следующем виде:
.