4. Анализ функций одной и двух переменных

До сих пор, изучая функцию, мы могли строить лишь отдельные точки ее графика, выбирая наугад некоторые значения аргумента x и подсчитывая соответствующие значения y=f(x). Теперь, ознакомившись с дифференциальным исчислением, мы можем строить вполне обоснованный график, правильно отражающий весь ход изменения функции. К наиболее важным моментам исследования относятся возрастание и убывание функции, ее наибольшее и наименьшее значение, поведение при неограниченном удалении графика от начала координат.

В теоремах математического анализа доказывается, что

1) если функция y=f(x) определена на интервале (a,b) и имеет в любой точке этого интервала положительную производную f'(x)>0, то функция y=f(x) возрастает на интервале (a,b).

2) если функция y=f(x) определена на интервале (a,b) и имеет в любой точке этого интервала отрицательную производную f'(x)<0, то функция y=f(x) убывает на интервале (a,b);

3) если же производная f'(x) от функции f(x) всюду на интервале (a,b) равна нулю, то функция f(x) постоянна на этом интервале.

Интервалы, в которых функция f(x) возрастает, называют областью возрастания функции; в которых убывает – областью убывания.

Большинство элементарных функций не являются монотонными всюду, где они определены. Области их определения часто содержат интервалы и возрастания и убывания функций. Особый интерес представляют «пограничные» значения аргумента x=x₀, отделяющие область возрастания от области убывания. В этих точках поведение функции изменяется: при переходе аргумента (слева направо) через точку x₀ функция от возрастания переходит к убыванию или от убывания – к возрастанию.

Определение. Точка x₀ называется точкой максимума непрерывной функции f(x), если существует такая окрестность этой точки, в которой f(x₀) является наибольшим значением функции f(x), т.е. f(x₀) > f(x).

Точка x₀ называется точкой минимума непрерывной функции f(x), если существует такая окрестность этой точки, в которой f(x₀) является наименьшим значением функции, т.е. f(x₀) < f(x).

В первом случае говорят также, что функция f(x) имеет максимум в точке x₀. Во втором – функция f(x) имеет минимум в точке x₀. Значение функции в точке максимума называют максимальным, а в точке минимума – минимальным. Для понятий максимума и минимума существует объединяющий их термин – экстремум.

Необходимое условие существования экстремума

Если дифференцируемая функция f(x) имеет экстремум в точке x₀,, то ее производная в этой точке равна нулю: f'(x₀)=0.

Достаточные условия

Пусть f(x) – дифференцируемая функция. Если при переходе x через точку x₀ (слева направо) производная f'(x) меняет знак с плюса на минус, то x₀ является точкой максимума.

Если же производная f'(x) меняет знак с минуса на плюс, то x₀ является точкой минимума.

С помощью второй производной можно также проводить исследование на экстремум критических точек той функции, которая имеет вторые производные в этих точках.

Теорема. Пусть дана функция y=f(x), имеющая непрерывные производные первого и второго порядка, и пусть известно, что в точке x= x₀ первая производная f'(x₀)=0. Если f''(x)<0 при x= x₀, то функция y=f(x) имеет в критической точке x₀ максимум. Если же f''(x₀)>0 и f'(x₀)=0, то функция y=f(x) имеет в точке x₀ минимум.

Рекомендуется следующий план исследования функций:

1) установить область определения данной функции y=f(x), область ее непрерывности, точки разрыва;

2) выяснить наличие симметрии и периодичности графика функции;

3) определить точки пересечения графика с осями координат и указать промежутки, где функция f(x) сохраняет знак;

4) найти точки экстремума и области возрастания и убывания функции;

5) найти точки перегиба графика функции, а также его области выпуклости и вогнутости;

6) найти асимптоты исследуемой функции;

7) построить график исследуемой функции.