Понятие линейной зависимости векторов

Линейной комбинацией n векторов будем называть сумму произведений этих векторов на произвольные вещественные числа:

, (1)

где _1,_2,... _n- любые вещественные числа.

Определение 1. Векторы называются линейно зависимыми, если найдутся такие вещественные числа _1,_2,...,_n, из которых хотя бы одно отлично от нуля, что линейная комбинация векторов с указанными числами обращается в нуль

Векторы _, не являющиеся линейно зависимыми, будем называть линейно независимыми.

Приведем другое определение линейно независимых векторов.

Определение 2. Векторы называются линейно независимыми, если равенство нулю их линейной комбинации (1) возможно лишь в случае, когда числа ₁=₂=,...,=_n=0

Из определений 1 и 2 следуют два утверждения:

1. Если хотя бы один из векторов является нулевым, то эти векторы являются линейно зависимыми.

2. Если среди n векторов какие-либо (n-1) векторов линейно зависимы, то и все n векторов линейно зависимы.

Линейные комбинации двух векторов

Необходимым и достаточным условием линейной зависимости двух векторов является их коллинеарность.

Доказательство. 1) Необходимость. Пусть векторы линейно зависимы. Докажем их коллинеарность.

По определению линейной зависимости найдутся такие вещественные числа  и , хотя бы одно из которых не равно нулю, что справедливо равенство

.

Пусть 0. Тогда .

Обозначив , получим .

Необходимость доказана.

2). Достаточность. Пусть векторы коллинеарны. Докажем, что они линейно зависимы. Если хотя бы один из них нулевой, то линейно зависимы.

Если же вектор ненулевой, то из коллинеарности векторов следует, что, т.е. , ч.т.д.

Следствие 1. Если векторы не коллинеарны, то они линейно независимы.

Следствие 2. Среди двух неколлинеарных векторов не может быть нулевого вектора.

Линейные комбинации трех векторов

Определение. Векторы называются компланарными, если они лежат либо в одной плоскости, либо в параллельных плоскостях.

Теорема. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости трех векторов является их компланарность.

Доказательство. 1). Необходимость. Пусть три вектора линейно зависимы. Докажем их компланарность.

По определению линейной зависимости найдутся такие вещественные числа ,  и , хотя бы одно из которых отлично от нуля, что

.

Пусть 0. Тогда

.

Обозначив = , = , имеем . Если все три вектора приложены к общему началу О, то отсюда следует, что вектор равен диагонали параллелограмма, построенного на векторах(рис.4)

Рис. 1

Но это означает, что векторы лежат в одной плоскости, т.е. компланарны.

2). Достаточность. Пусть векторы компланарны. Докажем, что они линейно зависимы.

Если какая-нибудь пара из указанных трех векторов коллинеарна, то эта пара линейно зависима и все три вектора линейно зависимы.

Осталось рассмотреть случай, когда в тройке векторов ни одна пара векторов не коллинеарна.

Перенесем три компланарных вектора на одну плоскость и приведем их к общему началу О (рис.1). Через конец C вектора проведем прямые, параллельные векторам . Обозначим А точку пересечения прямой, параллельной вектору , с прямой, на которой лежит вектор , а В-точку пересечения прямой, параллельной вектору ,с прямой, на которой лежит вектор. (Точка пересечения существует, т.к. векторы не коллинеарны.)

.

Так как вектор коллинеарен ненулевому вектору , то

.

Аналогично , т.е. .

Или , ч.т.д.

Следствие 1. Каковы бы ни были неколлинеарные векторы , для любого вектора , лежащего в одной плоскости с векторами , найдутся такие вещественные числа  и , что

.

Следствие 2. Если векторыа,в ис не компланарны, то они линейно независимы.