Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Тугуз методичка-верстка- 12.11.2008_1.doc
Скачиваний:
36
Добавлен:
18.12.2018
Размер:
5.2 Mб
Скачать
    1. Основные свойства и графики элементарных функций

Математика изучает количественные отношения и пространственные формы окружающего нас мира. Элементарная математика имеет дело в основном с постоянными величинами и простейшими геометрическими фигурами (треугольниками, окружностями и т.п.). Понятий и методов элементарной математики оказывается недостаточно для описания процессов, зависящих от времени или каких-либо других параметров.

Со всяким процессом связано представление о переменной величине, т.е. о такой величине, которая в условиях данного процесса принимает различные значения. Более того, всякий процесс характеризуется, по меньшей мере, двумя переменными величинами, изменение которых взаимосвязано.

Такого рода зависимости между двумя переменными x и y, при которых каждому значению переменной x ставится в соответствие определенное значение y, встречаются при рассмотрении процессов различной природы: от движения физических тел до сложных социально-экономических явлений.

Абстрагируясь от конкретного содержания переменных x и y, мы приходим к одному из важнейших математических понятий - понятию функции.

Определение. Если известно правило, посредством которого каждому значению переменной x ставится в соответствие определенное значение переменной y, то говорят, что переменная y является функцией переменной x.

При этом переменная x называется аргументом рассматриваемой функции, а соответствующее данному x значение переменной y называется частным значением функции в точке x.

Для обозначения функции используются следующие символы:

y=φ(x) или y=f(x).

Такой способ задания функции при помощи формулы называется аналитическим.

Наряду с этим способом существуют и другие способы задания функции. В практике сбора информации, в различных социологических опросах и научных экспериментах весьма распространен табличный способ задания функции, при котором значения аргумента и соответствующие им значения функции выписываются в виде таблицы. Часто зависимость между аргументом и функцией задается посредством графика, например ЭКГ (электрокардиограмма). Такой способ задания функции называется графическим.

Потребности теории и практики иногда приводят к необходимости изучения функции y=f(x), аргумент x которой сам по себе представляет некоторую функцию x=φ(t) нового аргумента t. В таком случае говорят, что y представляет собой сложную функцию аргумента t, а x называют промежуточным аргументом. Эту сложную функцию можно записать в следующем виде: y=f[φ (t)]. Например, y=cos(x), где x=ωt.

Основными элементарными функциями называются следующие функции: xp (степенная), ax (показательная), ех (экспоненциальная), 1/х (гиперболическая), k/х (обратная), logax (логарифмическая), тригонометрические: cosx, sinx, tgx.

    1. Предел функции, непрерывность функции, производная функции

Постоянная величина a называется пределом переменной x, если для любого наперед заданного сколь угодно малого положительного числа ε можно указать такой момент в процессе изменения x, что все последующие значения переменной x будут удовлетворять неравенству |x-a|<ε.

Из курса элементарной математики студент имеет представление о числовых последовательностях, примерами которых могут служить члены арифметической и геометрической прогрессии.

Определение. Постоянная величина a называется пределом последовательности xn, если для каждого положительного наперед заданного сколь угодно малого числа ε существует такой номер N, что все значения xn , у которых номер n>N, удовлетворяют неравенству | xn-a| <ε.

Говорят, что последовательность сходится к a. Обозначается этот предел следующим образом:

Введем теперь понятие предела функции. Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки x0.

Определение. Постоянная величина A называется пределом функции f(x) в точке x0, если для каждого положительного наперед заданного сколь угодно малого числа ε >0 найдется такое положительное число δ >0, что для всех x, отличных от x0 и удовлетворяющих неравенству |x- x0|< δ, выполняется неравенство |f(x)-A|< ε .

Когда число A есть предел функции f(x) в точке x0, принято обозначение A=limx →x0f(x).

Сформулируем теоремы о пределах функций, полезные при решении задач на вычисление пределов.

Теоремы. Если существуют limx→x0f(x) и limx→x0g(x), то

1) limx→x0[f(x)±g(x)] = limx →x0f(x)± limx →x0g(x);

2) limx →x0kf(x) = k limx →x0f(x);

3) limx →x0f(x)g(x) = limx →x0f(x)limx →x0g(x);

4) limx →x0[f(x):g(x)] = limx →x0f(x):limx →x0f(x), если limx →x0g(x)≠0;

5) limx →x0[f(x)]n = [limx →x0f(x)]n;

6) limx →x0C = C, где С = const.

Понятие предела функции в точке позволяет описать важнейшее свойство некоторых функций – свойство непрерывности. Так, часто говорят о непрерывно изменяющейся температуре, непрерывно текущем времени и т.п., понимая под этим постепенное изменение указанных переменных. Для функции это означает, что малое изменение аргумента вызывает малое изменение функции. Дадим точное определение непрерывности.

Пусть функция y=f(x) определена в точке x=x0 и ее окрестности. Придадим аргументу новое значение, полагая x=x0+∆x. Тогда функция y примет соответствующее значение f(x0+∆x). Разность ∆y = f(x0+∆x) - f(x0) будем называть приращением функции y=f(x) в точке x=x0; величина ∆x = x- x0 называется приращением аргумента.

Определение. Если бесконечно малому приращению ∆x аргумента в точке x0 соответствует бесконечно малое приращение ∆y данной функции, то функцию y=f(x) называют непрерывной в точке x0, т.е.

Если функция непрерывна в каждой точке некоторого промежутка (a,b), то ее называют непрерывной во всем промежутке (a,b).

Существуют следующие типы точек разрыва функции:

  • Устранимый разрыв 1-го рода. Точка а называется точкой устранимого разрыва первого рода функции у= f(х), если предельное значение функции в этой точке существует, но в точке а функция f(x) или не определена, или ее частное значение f(a) в точке а не равно предельному значению.

  • Неустранимый разрыв 1-го рода. Точка а называется точкой неустранимого разрыва 1-го рода, если в этой точке функция f(x) имеет конечные, но не равные друг другу правое и левое предельные значения:

  • Разрыв 2-го рода. Точка а называется точкой разрыва 2-го рода, если в этой точке функция f(x) не имеет, по крайней мере, одного из односторонних предельных значений или если хотя бы одно из односторонних предельных значений бесконечно.

Другим полезным классом функций являются функции нескольких переменных. Дадим определение функции двух переменных.

Определение. Если каждой паре значений (x,y) соответствует единственное значение z, то переменную z называют функцией от двух независимых переменных x и y, или аппликатой, и обозначают так: z=f(x,y).

Пусть y=f(x) представляет собой закон взаимосвязи двух переменных. Нас может заинтересовать вопрос, как в среднем изменится величина y при изменении х от x до x+∆x, где x - некоторое фиксированное значение аргумента, а ∆x - некоторое его приращение. Очевидно, что ∆y=f(x+∆x)-f(x) и будет приращением функции y при соответствующем приращении ∆x. Тогда средняя скорость, изменения функции за данное приращение аргумента будет равна

Vcp = ∆y/∆x = {f(x+∆x)-f(x)}/∆x.

Поскольку значение x фиксировано, то из последней формулы видно, что Vcp является функцией аргумента ∆x. Если уменьшать ∆x, то мы будем получать все более точное значение скорости изменения функции y в зависимости от изменения ее аргумента в точке x и достигнем точного значения при стремлении ∆x к нулю (∆x→0). Таким образом, мы приходим к понятию производной. Итак, производной функции y=f(x) в фиксированной точке мы будем называть предел, к которому стремится дробь ∆y/∆x = {f(x+∆x)-f(x)}/∆x при ∆x, стремящемся к нулю.

Операцию нахождения производной принято называть дифференцированием. Используя известные символы для обозначения предела и производной, можно записать

f'(x) = lim∆x→0∆y/∆x = lim∆x→0 {f(x+∆x)-f(x)}/∆x.

Приведем таблицу производных некоторых элементарных функций:

N п/п

f(x)

f'(x)

1

xα

αxα-1,α - любое число

2

logax

1/(xlnа)

3

ex

ex

4

ax

ax lna

5

sin x

cos x

6

cos x

-sin x

7

C, c=const

0

Для вычисления производных широкого класса функций следует присоединить к указанной выше таблице производных правило дифференцирования сложной функции, а также правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного функций. Сформулируем правило дифференцирования сложной функции y=f(x), где x=φ(t).

Для нахождения производной y'(t) сложной функции y=f{φ(t)} по аргументу t в данной точке t следует:

1) вычислить производную φ'(t) функции x=φ(t) в точке t;

2) вычислить производную f'(x) функции у=f(x) в точке x, где x=φ(t);

3) перемножить указанные производные.

Таким образом, производная сложной функции y=f{φ(t)} может быть найдена по формуле y'(t)=f'(x)φ'(t).

Приведем теперь правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного (в предположении, что u(x) и v(x) имеют производные):

[u(x)±v(x)]' = u'(x) ±v'(x),

[u(x)v(x)]' = u(x)v'(x) + u'(x)v(x),

[u(x)/v(x)]' = {u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}/v2(x).

Сформулированные выше правила дифференцирования и таблица производных представляют собой основной аппарат той части математического анализа, которую обычно называют дифференциальным исчислением.

Необходимо также добавить, что производная функции может являться в свою очередь непрерывной и дифференцируемой функцией в некотором промежутке. Тогда можно ввести понятие производной второго порядка f''(x) как производной от производной, т.е.

f''(x) = {f'(x)}' = limΔx→0{f'(x+∆x) - f'(x)}/ ∆x.

Аналогично для производных 3-го, 4-го и т.д. n-го порядка.

Выясним геометрический смысл производной. С этой целью рассмотрим график функции y=f(x). Пусть точка M на графике функции соответствует фиксированному значению аргумента x, а точка P – значению x+∆x, где ∆x – некоторое приращение аргумента. Прямую MP будем называть секущей. Обозначим через φ (∆x) угол, который образует эта секущая с осью Ox (очевидно, что этот угол зависит от ∆x). Касательной к графику функции y=f(x) в точке M будем называть предельное положение секущей MP при стремлении точки P к точке M по графику (или при ∆x→0).

Из рис. 1 ясно, что

tgφ(∆x) = PN/MN = ∆y/∆x = {f(x+∆x) - f(x)}/∆x.

Так как при ∆x→0 секущая MP переходит в касательную, то

lim∆x→0tgφ(∆x) = tg φ0,

где φ0 - угол, который образует касательная с осью Ox.

С другой стороны,

lim∆x→0tgφ(∆x) = lim∆x→0{f(x+∆x) - f(x)}/∆x = f'(x).

Рис. 1.

Следовательно, f'(x) = tg φ0. Тангенс угла наклона прямой к оси Ox называют угловым коэффициентом этой прямой. Таким образом, производная f'(x) равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y=f(x) в точке M.

Физический смысл производной функции в данной точке означает мгновенную скорость изменения функции в этой точке.

Понятие дифференциала функции

Пусть функция у =f(х) дифференцируема в точке х, т.е. ее приращение в этой точке может быть записано в виде выражения Δy=AΔx+αΔх (1), представляющего собой сумму двух слагаемых: первое из этих слагаемых АΔx при А≠0 — это функция приращения аргумента Δх, линейная и однородная относительно Δх; это слагаемое представляет собой при Δх→ 0 бесконечно малую такого же порядка, что и Δx; второе слагаемое αΔх является при Δx→0 бесконечно малой более высокого порядка, чем Δх, так как отношение стремится к нулю при Δх→0. Таким образом, при А≠0 первое слагаемое АΔx является главной частью приращения дифференцируемой функции. Эту главную часть приращения называют дифференциалом функции в точке х, соответствующим приращению аргумента Δx.

Итак, в случае A≠0 дифференциалом функции у =f(х) в данной точке х, соответствующим приращению аргумента Δх, называют главную линейную относительно Δх часть приращения этой функции в точке х. Дифференциал функции обозначается символом dy. Если для приращения функции Δу справедливо представление (1), то дифференциал этой функции, по определению, равен

dy=AΔx. (2)

В случае A = 0 дифференциал функции также определяется формулой (2), т.е. считают, что в этом случае он равен нулю.

Учитывая теорему дифференцируемости функции в данной точке, формулу (2) можно переписать в виде

dy=f'(x) Δx. (3)

Подчеркнем, что дифференциал функции dy в данной точке х, вообще говоря, не равен приращению функции Δу в этой точке.

Рассмотрим график функции у=f(х) (рис. 2).

Рис. 2

Пусть точка М на кривой у =f (x) соответствует значению аргумента х, точка Р на той же кривой соответствует значению аргумента х+Δх, MS— касательная к кривой у =f(х) в точке М. Пусть, далее, прямая MN параллельна Ох, прямая PN параллельна Оу, Q — точка пересечения касательной MS с прямой PN. Тогда приращение функции Δу равно величине отрезка NP. В то же время из прямоугольного треугольника MQN и из формулы (3) ясно, что дифференциал функции dy равен величине отрезка NQ, ибо величина отрезка MN равна Δх, а тангенс угла <QMN равен f'(x). Очевидно, что величины отрезков NP и NQ, вообще говоря, различны.

Установим выражение для дифференциала функции у =f(х), аргумент х которой является независимой переменной.

Под дифференциалом dx независимой переменной х можно понимать любое (не зависящее от х) число. Договоримся в дальнейшем брать это число равным приращению Δх независимой переменной, что позволяет нам переписать формулу (3) в виде

dy=f '(x)dx. (4)

Введем понятие дифференциала dх независимой переменной х, под которым можно понимать любое (не зависящее от х) число. Договоримся в дальнейшем брать это число равным приращению ∆х независимой переменной, что позволяет переписать формулу для дифференциала функции в виде

dy=f '(x)dx.

На основании этой формулы мы можем сделать вывод: для случая, когда аргумент x функции y=f(x) является независимой переменной, производная f'(x) этой функции равна отношению дифференциала функции dy к дифференциалу аргумента dx, т.е.

f '(x)=dy/dx.

Рассмотрим некоторые понятия и определения, касающиеся дифференцирования функций нескольких переменных. Пусть дана функция z=f(x, y), определенная на некотором множестве пар значений переменных x и y. Это множество можно наглядно представить как область плоскости, а пару значений – как точку этой области. Так как x и y – независимые переменные, то одна из них может изменяться, а другая – сохранять свою величину.

Возьмем точку N0(x0,y0) и дадим x0 приращение ∆x, оставляя y0 постоянным. Тогда функция z=f(x,y) получит приращение, зависящее только от изменения x:

xz =f(x0+∆x,y0)-f(x0,y0),

которое называют частным приращением функции по x. Аналогично определяется частное приращение по y:

yz =f(x0,y0+∆y)- f(x0,y0).

Определение. Если существует конечный предел

то его называют частной производной функции z=f(x,y) по x в точке (x0,y0). Если такой предел можно найти в каждой точке области, то говорят, что функция z=f(x,y) имеет частную производную по x в этой области.

Обозначают частную производную одним из следующих способов:

если требуется указать точку, где вычисляется производная.

Аналогично: частной производной функции f(x,y) в точке (x0,y0) по y называется следующий предел:

Это определение можно распространить и на случай функции большего числа переменных.

Вообще частной производной функции нескольких переменных называется производная, вычисленная в предположении, что изменяется лишь один из аргументов, а остальные – постоянны. В обозначениях указывают, какой из аргументов изменяется.

Пример. Найти частные производные функции z=ax2+2bxy+cy2.

Чтобы найти частную производную z'x, будем считать постоянным, кроме коэффициентов a,b,c, также и y, рассматривая z как функцию только одной переменной x. Тогда получим z'x=2ax+2by=2(ax+by). Полагая постоянной x, найдем z'y=2bx+2cy=2(bx+cy).

Дифференциал функции двух переменных

dz = z'xdx + z'ydy.

Пример. Для приведенного выше примера дифференциал будет выглядеть:

dz = (2ax+2by=2(ax+by))dx + 2bx+2cy=2(bx+cy)dy.