- •Оглавление
- •Общие методические указания по изучению дисциплины
- •Основные теоретические положения математического анализа
- •Теория множеств
- •Основные свойства и графики элементарных функций
- •Предел функции, непрерывность функции, производная функции
- •Анализ функций одной и двух переменных
- •Интегрирование функций
- •Определенный интеграл, основные теоремы
- •Способы интегрирования
- •Дифференциальные уравнения
- •Понятие дифференциального уравнения
- •Дифференциальные уравнения первого порядка Общие сведения
- •Уравнение первого порядка с разделяющимися переменными
- •Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
- •Линейное уравнение первого порядка
- •Векторная алгебра
- •Понятие вектора и линейные операции над векторами Понятие вектора
- •Линейные операции над векторами
- •Свойства сложения векторов:
- •Понятие линейной зависимости векторов
- •Линейные комбинации двух векторов
- •Линейные комбинации трех векторов
- •Понятие базиса. Аффинные координаты
- •Проекция вектора на ось
- •Декартова прямоугольная система координат (дпск) в пространстве.
- •Полярная система координат
- •Скалярное произведение двух векторов Определение скалярного произведения (сп)
- •Геометрические свойства сп
- •Алгебраические свойства сп
- •Выражение скалярного произведения (сп) в декартовых прямоугольных координатах (дпк)
- •Векторное произведение двух векторов Правые и левые тройки векторов и системы координат
- •Векторное произведение двух векторов (вп)
- •Геометрические свойства вп
- •Алгебраические свойства векторного произведения (вп)
- •Понятие матрицы и определителя второго и третьего порядка
- •Выражение векторного произведения (вп) в декартовых прямоугольных координатах (дпк)
- •Смешанное произведение трех векторов
- •Выражение смешанного произведения в декартовых координатах
- •Аналитическая геометрия на плоскости
- •Различные виды уравнений прямой на плоскости Общее уравнение прямой
- •Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •Уравнение прямой в отрезках
- •Каноническое уравнение прямой
- •Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых
- •Кривые второго порядка
- •Эллипс Определение эллипса и вывод его канонического уравнения
- •Исследование формы эллипса
- •Эксцентриситет эллипса
- •Гипербола Определение гиперболы и вывод ее канонического уравнения
- •Исследование формы гиперболы
- •Асимптоты гиперболы
- •Равнобочная гипербола
- •Сопряженная гипербола
- •Эксцентриситет и фокальные радиусы гиперболы
- •Парабола Определение параболы и ее уравнение
- •Исследование формы параболы
- •Общее свойство кривых второго порядка - эллипса, гиперболы и параболы Директриса эллипса, гиперболы и параболы
- •Аналитическая геометрия в пространстве Плоскость как поверхность первого порядка
- •Неполные уравнения плоскости
- •Уравнение плоскости в отрезках
- •Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости
- •Уравнение прямой в пространстве
- •Направляющий вектор прямой. Канонические уравнения прямой. Параметрические уравнения прямой
- •Некоторые дополнительные предложения и примеры
- •Линейная алгебра
- •Матрицы. Основные определения
- •Действия над матрицами
- •Обратная матрица
- •Системы линейных уравнений Система линейных уравнений
- •Методы решения системы n линейных уравнений с n неизвестными
- •Методы решения системы m линейных уравнений с n неизвестными. Метод Гаусса
- •Система m линейных уравнений с n переменными
- •Задачи оптимизации
- •Математические модели оптимизации
- •Задачи линейного программирования
- •Задачи динамического программирования
- •Примеры решения типовых задач Задачи по математическому анализу, линейной алгебре и методам оптимизации
- •Варианты заданий к контрольным работам
- •Контрольная работа №1
- •Задача 6. Аналитическая геометрия на плоскости а) Линии первого порядка
- •Контрольная работа №2
- •Задачи для самостоятельной работы Пределы и непрерывность
- •Производная и ее применение
- •Определенный интеграл
- •Несобственные интегралы
- •1. Дифференциальные уравнения первого порядка
- •2. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
- •Вопросы к зачету
- •Определенный интеграл, основные теоремы.
- •Вопросы к экзамену
- •Определенный интеграл, основные теоремы.
- •Системы линейных уравнений.
- •Задачи линейного программирования.
- •Литература
- •К.Т.Н., доц. Тугуз Юрий Рамазанович Математика
- •Учебно-методическое пособие
- •344002, Г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 70
-
Векторное произведение двух векторов Правые и левые тройки векторов и системы координат
Определение. Три вектора называются упорядоченной тройкой (или просто тройкой), если указано, какой из них является первым, какой- вторым и какой- третьим.
Т.е. запись означает, что первым элементом является вектор , вторым- , третьим- .
Определение. Тройка некомпланарных векторов называется правой (левой), если после приведения к общему началу вектор располагается по ту сторону от плоскости, определяемой векторами , откуда кратчайший поворот от виден совершающимся против часовой стрелки (по часовой стрелке).
Правая тройка Левая тройка
Определение. Аффинная или декартова система координат называется правой (левой), если три базисных вектора образуют правую (левую) тройку.
В дальнейшем будем рассматривать только правые системы координат.
Векторное произведение двух векторов (вп)
Определение. ВП вектора на вектор называется вектор , удовлетворяющий трем условиям:
1) длина вектора равна произведению длин векторов на синус угла между ними:
; (1)
2) вектор ортогонален к каждому из векторов ;
3) вектор направлен так, что тройка векторов является правой.
Геометрические свойства вп
Теорема. Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю их ВП.
Доказательство. 1). Необходимость вытекает из определения ВП.
2). Достаточность. Пусть . Докажем, что векторы коллинеарны. Если хотя бы один из векторов является нулевым, то он коллинеарен любому вектору.
Если же оба вектора ненулевые, то >0, и поэтому из равенства следует, что sin=0, =0, т.е. векторы коллинеарны, ч.т.д.
Заметим, что так как площадь параллелограмма равна произведению смежных сторон этого параллелограмма на синус угла между ними, то из определения ВП(пункт 1) получим, что длина (или модуль) ВП равняется площади параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах .
Алгебраические свойства векторного произведения (вп)
Из определения ВП получаем следующие четыре свойства ВП:
1. ;
2.;
3.;
4. для любого вектора .
Понятие матрицы и определителя второго и третьего порядка
Прямоугольную таблицу из чисел, содержащую m строк и n столбцов называют матрицей.
Если число строк матрицы совпадает с числом ее столбцов, то матрица называется квадратной.
Числа, входящие в состав матрицы, называют ее элементами.
Рассмотрим квадратную матрицу, состоящую из четырех элементов:
.
Определителем второго порядка, соответствующим этой матрице называется число, равное и обозначаемое символом
.
Рассмотрим квадратную матрицу, состоящую из девяти элементов:
.
Определителем третьего порядка, соответствующим этой матрице называется число, обозначаемое символом и равное
.
Для удобства запоминания этой формулы можно пользоваться следующим способом: под определителем дописываются две первые строки и со знаком плюс записываются произведения элементов на диагоналях слева-направо вниз, а со знаком минус – справа-налево.
Минором, соответствующим любому элементу определителя, называется определитель меньшего на 1 порядка, получаемый из исходного вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит этот элемент. Например, минором, соответствующим элементу a2 из определителя
Минор для элемента aij обозначается Mij.
Алгебраическим дополнением элемента aij (обозначается Aij) называется его минор Mij, умноженный на -1 в степени суммы индексов i и j:
Aij = (-1)i+jMij
В приведенном выше примере элемент a2 стоит в 1-м столбце и во 2-й строке; сумма (1 + 2) нечетна, и поэтому алгебраическое дополнение элемента a2 равно его минору, взятому со знаком минус, т.е.
Значение определителя равно сумме произведений элементов любой строки (или любого столбца) на их алгебраические дополнения. Например, определитель
разложенный по первому столбцу, имеет вид
а его разложение по второй строке, имеет вид
Вычислив каждый минор и умножив его на коэффициент, нетрудно убедиться в том, что оба выражения совпадают.
Некоторые свойства определителя:
1) определитель не изменяется при транспонировании матриц;
2) определитель меняет знак, если поменять местами любые две строки (или столбца) матрицы;
3) определитель равен нулю, если: все элементы любой строки (или столбца) равны нулю; элементы любых двух строк (или столбцов) пропорциональны либо (в частном случае) равны;
4) определитель не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить элементы другой строки (столбца), предварительно умноженные на число, отличное от нуля,
5) если поделить любую строку (столбец) матрицы на отличное от нуля число, то определитель исходной матрицы будет равен определителю получившейся матрицы, умноженной на это число.