4. Векторная алгебра

1. Понятие вектора и линейные операции над векторами Понятие вектора

Вектором будем называть направленный отрезок.

Обозначать вектор будем либо как направленный отрезок символом , где точки A и B обозначают соответственно начало и конец данного вектора, либо символом .

Начало вектора называют точкой его приложения. Длину вектора будем обозначать символом модуля: или .

Вектор называется нулевым, если совпадают его начало и конец. Нулевой вектор имеет длину равную нулю.

Векторы называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых.

Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаковое направление. Все нулевые векторы считаются равными.

Точка приложения вектора может быть выбрана производно, поэтому изучаемые векторы называют свободными.

Линейные операции над векторами

Линейными операциями называют операцию сложения векторов и операцию умножения векторов на вещественные числа.

Определение 1. Суммой двух векторов и называется вектор, идущий из начала вектора в конец вектора при условии, что вектор приложен к концу вектора .

Это правило называют “правилом треугольника”.

Свойства сложения векторов:

1. – коммутативность

Доказательство. Приложим два произвольных вектора и к общему

началу 0. Обозначим A и B концы векторов и соответственно и рассмотрим параллелограмм OBCA. , .

Из определения 1 и OAC следует, что , а из OBC следует, что , ч.т.д.

Замечание. При доказательстве свойства 1 нами получено правило сложения векторов, называемое “правилом параллелограмма”: если векторы и приложены к общему началу и на них построен параллелограмм, то сумма () этих векторов представляет собой диагональ этого параллелограмма, идущую из общего начала векторов и .

2. - ассоциативность

Доказательство. Приложим вектор к произвольной точке 0, вектор к концу вектора и вектор к концу вектора .

Обозначим буквами A, B, C концы векторов , и , тогда

,

, и т.д.

3. Существует нулевой вектор такой, что для любого вектора . Это свойство вытекает из определения 1.

4. Для любого вектора существует противоположный ему вектор - такой, что .

Для доказательства этого свойства определим вектор -, противоположный вектору , как вектор, коллинеарный вектору , имеющий с ним одинаковую длину и противоположное направление.

Взятая по определению 1 сумма вектора с таким вектором - дает нулевой вектор.

Определение 2. Разностью вектора и вектора называется такой вектор , который в сумме с вектором дает вектор .

Из определения 2 и из правила треугольника (определение 1) сложения векторов вытекает правило построения разности : разность приведенных к общему началу векторов и представляет собой вектор, идущий из конца вычитаемого вектора в конец уменьшаемого вектора .

Определение 3. Произведением  () вектора на вещественное число  называется вектор , коллинеарный вектору , имеющий длину , и имеющий направление, совпадающее с направлением вектора в случае >0 и противоположное направлению вектора в случае <0.

Свойства операции умножения вектора на число:

5.

При “растяжении” сторон параллелограмма в  раз в силу свойств подобия диагональ также “растягивается” в  раз, т.е.

.

6. .

7. .

Последние два свойства очевидны из геометрических соображений.