3. Дифференциальные уравнения

1. Понятие дифференциального уравнения

Дифференциальным называется уравнение, которое кроме независимых переменных x₁, х₂, ..., x_n и искомой функции от них y(x₁, х₂, ..., x_n) содержит еще производные искомой функции или ее дифференциалы.

Если функция, относительно которой составлено дифференциальное уравнение, зависит только от одной независимой переменной, то это уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением.

Если же искомая функция зависит от нескольких независимых переменных и дифференциальное уравнение содержит частные производные по этим переменным, то это уравнение называется дифференциальным уравнением с частными производными.

Таким образом, для искомой функции у(х) одной независимой переменной х обыкновенное дифференциальное уравнение может быть записано в виде

F(_X,y,y',y",...,y⁽ⁿ⁾)=0, (1)

причем в частных случаях функция F может не зависеть от х, у и некоторых производных функции у(х) порядка ниже п.

Наивысший порядок п производных, входящих в уравнение (1), называется порядком этого дифференциального уравнения.

Дифференциальное уравнение (1) называется линейным, если его левая часть является многочленом первой степени относительно искомой функции у и ее производных у',у",...,у⁽ⁿ⁾ т. е. если это уравнение имеет вид

a₀(x)⁽ⁿ⁾ + a₁(x)⁽ⁿ⁾ + ... + a_n(_X)y-f(x) = 0, (2)

причем при f(x) ≡ 0 уравнение (2) называется однородным линейным уравнением порядка п, а при f(x)¬≡0 – неоднородным линейным уравнением порядка n.

Всякая n раз дифференцируемая функция у = φ(x), которая, будучи подставлена в уравнение (1), обращает его в тождество, называется решением дифференциального уравнения (1), а график любого решения называется интегральной кривой.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка Общие сведения

Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка относительно функции у = у(х) имеет вид

F(x,y,y')=0. (1)

Если уравнение (1) может быть разрешено относительно производной у', то мы придем к уравнению

y'=f(x,y), (2)

правую часть которого естественно считать непрерывной функцией двух переменных в некоторой области G плоскости Оху.

Многие вопросы теорий упрощаются, если их рассматривать для разрешенного относительно производной уравнения (2), причем к этому уравнению приводят многие прикладные задачи.

Заметим, что, используя свойство инвариантности первого дифференциала, выражающееся равенством , мы можем переписать уравнение (2) в виде dy = f(x, у) dx, а в таком виде оно является частным случаем более общего уравнения

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 (3)

с непрерывными в некоторой области G плоскости Оху функциями Р(х,у) и Q(x,y).

В уравнении (3) естественно считать обе переменные х и у равноправными и не интересоваться вопросом о том, какая из этих переменных является независимой.

Обратимся к выяснению геометрического смысла уравнений (2) и (3).

Рассмотрим сначала уравнение (2) и предположим, что некоторая функция у = у(х) является решением этого уравнения. Тогда в декартовой прямоугольной системе координат Оху касательная к интегральной кривой у = у(х) в каждой лежащей на этой кривой точке М(х,у) имеет угловой коэффициент k, равный f(x, у).

Таким образом, нахождение всех решений у = у(х) уравнения (4) геометрически приводит к следующей задаче: при условии, что в каждой точке М(х,у) некоторой области G плоскости Оху с помощью функции f(x,у) задано определенное направление, найти все кривые, которые в каждой своей точке М имеют направление, совпадающее с заранее заданным в этой точке направлением.

Если функция f (x,y) из уравнения (4) непрерывна в каждой точке М(х,у) области G, то при перемещении этой точки М заданное в ней направление меняется непрерывно, и можно наглядно изобразить поле направлений, проведя в большом числе достаточно густо расположенных в области G точек короткие черточки, указывающие эти направления.

Проиллюстрируем сказанное на примере рассмотрения дифференциального уравнения

y'=y² (4)

Для отыскания множества всех решений этого уравнения перепишем его в виде равенства и возьмем неопределенный интеграл от обеих частей этого равенства.

В результате получим, что , где С – любая постоянная.

Таким образом, совокупность всех решений уравнения (6) имеет вид

(5)

где С – любая постоянная.

Общим решением дифференциального уравнения (2) называют такое зависящее от произвольной постоянной С решение y = у(х, С) из которого при надлежащем выборе значения постоянной С может быть получено решение, удовлетворяющее произвольному начальному условию y(x₀)=y_0.

Всякое решение дифференциального уравнения (2), которое получается из общего его решения при задании конкретного значения постоянной С, называется частным решением этого дифференциального уравнения.

Сразу же отметим, что не существует общих методов интегрирования произвольного дифференциального уравнения первого порядка.