7. Способы интегрирования

1. Замена переменной под знаком определенного интеграла. Пусть выполнены следующие условия:

1) функция f(x) непрерывна на интервале [a,b];

2) интервал [a,b] является множеством значений некоторой функции x=g(t), определенной на интервале α≤t≤β и имеющей на этом интервале непрерывную производную;

3) g(α)=a, g(β)=b.

При этих условиях справедлива формула

Формула показывает, что если вычислен интеграл, стоящий в левой части этой формулы, то вычислен и интеграл, стоящий в правой части, и наоборот. Указанная формула называется формулой замены переменной под знаком определенного интеграла.

Рассмотрим некоторую первообразную Ф(x) функции f(x). По формуле Ньютона-Лейбница имеем

Так как функции Ф(x) и x=g(t) дифференцируемы на соответствующих сегментах, то сложная функция Ф(g(t)) дифференцируема на интервале [α,β]. Поэтому, применяя правило дифференцирования функции, получим

Причем производная Ф' вычисляется по аргументу x: Ф'(g(t))=Ф`(x), где x=g(t). Поскольку Ф'(x)=f(x), то при x=g(t) получим Ф`(g(t))=f(g(t)). Подставляя это значение Ф'(g(t)) в правую часть равенства, получим

Следовательно, функция Ф(g(t)), определенная и непрерывная на интервале [α,β], является на этом интервале первообразной для функции (g(t))g’(t), и поэтому, согласно формуле Ньютона-Лейбница,

Так как g(β)=b, а g(α)=a, то

Сравнивая последнюю формулу с формулой из нашего утверждения, мы убеждаемся в ее справедливости.

2. Формула интегрирования по частям. Пусть функции u(x) и v(x) имеют непрерывные производные на сегменте [a,b]. Тогда имеет место следующая формула интегрирования по частям для определенных интегралов:

Так как v`(x)dx=dv и u`(x)dx=du, то эту формулу записывают еще следующим образом:

В справедливости этих формул убедиться нетрудно. Действительно, функция u(x)v(x) является первообразной для функции u(x)v’(x)+v(x)u’(x). Поэтому в силу формулы Ньютона-Лейбница:

Отсюда, используя свойства определенных интегралов, можно убедиться в справедливости нашего утверждения.

3. Интегрирование рациональной дроби. Интегрировать многочлены мы умеем (напомним, что неопределенный интеграл от многочлена представляет собой некоторый многочлен степени, на единицу более высокой). Остается научиться интегрировать правильную рациональную дробь, поскольку неправильная сводится к правильной + многочлен. Проблема интегрирования сводится к интегрированию простейших дробей следующих четырех типов:

Здесь β=2, 3, …; λ=2, 3, …; B, M, N, b, p и q – некоторые вещественные числа, причем трехчлен x²+px+q не имеет вещественных корней, т.е. q-p²/4>0.

Справедлива следующая теорема: всякая рациональная дробь интегрируема в элементарных функциях.

Действительно, дроби первого и второго типа интегрируемы в элементарных функциях при помощи подстановки: t=x-b.

Если квадратные трехчлены третьей и четвертой дробей представить в виде (x²+px+q)=(x+p/2)²+(q-p²/4) и, учитывая, что (q-p²/4)>0, ввести в рассмотрение вещественную постоянную , а затем сделать подстановку t=x+p/2, то проблема интегрирования может быть решена с использованием известных формул интегрирования.