3. Обратная матрица

Пусть задана квадратная матрица порядка n.

Определение. Квадратная матрица А^-1 порядка n называется обратной к матрице А, если она удовлетворяет соотношению

.

(1)

Присоединенной матрицей квадратной матрицы А называется матрица А*, каждый элемент которой есть алгебраическое дополнение элемента транспонированной матрицы А, т.е.

.

Квадратная матрица А называется невырожденной (неособенной), если ее определитель |A| отличен от нуля, и вырожденной, если |A|=0.

Теорема. Для всякой невырожденной матрицы А существует единственная обратная матрица А^-1, определяемая следующим выражением:

(2)

Обратная матрица обладает следующими основными свойствами:

1. Определитель обратной матрицы равен обратной величине определителя исходной матрицы, т.е. |A^-1|=.

2. Произведение двух невырожденных матриц А и В является невырожденной матрицей и .

3. Если матрица А невырожденная, то .

4. Обратная матрица к транспонированной является транспонированной матрицей к обратной, т.е. .

4. Системы линейных уравнений Система линейных уравнений

Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система m алгебраических уравнений первой степени вида

(1)

где – неизвестные, подлежащие определению;

– числа, называемые коэффициентами при неизвестных;

– числа, называемые свободными членами.

Решением системы уравнений (1) называется совокупность n чисел таких, что если в каждое уравнение системы вместо неизвестных подставить эти числа ( вместо , вместо вместо ), то все уравнения обратятся в тождества.

Если система линейных уравнений (1) имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной. В противном случае система называется несовместной.

Совместная система, имеющая единственное решение, называется определенной, а система, имеющая более одного решения – неопределенной.

Две системы линейных уравнений называются эквивалентными, если любое решение каждой из них является одновременно решением и другой системы.

Две произвольные несовместные системы считаются эквивалентными.

Системе линейных уравнений (1) поставим в соответствие матрицу и расширенную матрицу

,

полученную присоединением к матрице А столбца свободных членов.

Методы решения системы n линейных уравнений с n неизвестными

Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными

(2)

Определитель |A| матрицы А называется определителем системы (1).

Теорема Крамера. Если определитель |A| системы (1) отличен от нуля, то система совместна и имеет единственное решение.

(3)

Из формулы (2) следует, что если система (1) совместна, то она обладает единственным решением.

Формулы (2) называются формулами Крамера.

Непосредственной подстановкой значений , во все уравнения системы убедимся в том, что они образуют ее решение:

.

При , при , .

Таким образом, получим

.

Пример. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Вычислим определитель :

,

,

,

откуда

Решение системы линейных уравнений с определителем |A|, отличным от нуля, можно найти с помощью обратной матрицы. Для этого запишем систему (1) в виде матричного уравнения

АХ=В,

(4)

где .

Решение матричного уравнения (4) имеет вид

(5)

Пример. Решить систему линейных уравнений с помощью обратной матрицы

Решение. Вычислим для матрицы

ее обратную матрицу

.

Определим неизвестную матрицу-столбец Х:

,

откуда

Формулы Крамера (3) могут быть получены из выражения (5). Действительно, запишем матричное равенство в развернутом виде:

.

Из полученного выражения непосредственно следуют формулы Крамера:

.