Система m линейных уравнений с n переменными

Ранее было установлено, что ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк. Поэтому если строки расширенной матрицы А₁, т.е. уравнения системы (6), линейно независимы, то ранг матрицы А₁ равен числу ее уравнений, т.е. r=m, если линейно зависимы, то r<m.

Вопрос о разрешимости системы (6) в общем виде рассматривается в следующей теореме.

Теорема Кронекера–Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы.

Не проводя строгого доказательства теоремы, поясним его. В процессе преобразования системы линейных уравнений (6) к виду (8), т.е. элементарных преобразований матрицы системы А и расширенной матрицы А₁, ранги этих матриц не изменяются. Ранее было установлено, что система (8) совместна тогда и только тогда, когда все свободные члены равны нулю. В этом случае, как нетрудно проверить, ранг матрицы и ранг расширенной матрицы системы (8), так же как и данной системы (6), совпадают (оба равны r).

Для совместных систем линейных уравнений верны следующие теоремы.

1. Если ранг матрицы совместной системы равен числу переменных, т.е. r=n, то система (6) имеет единственное решение.

2. Если ранг матрицы совместной системы меньше числа переменных, т.е. r<n, то система (6) неопределенная и имеет бесконечное множество решений.

7. Задачи оптимизации

1. Математические модели оптимизации

Математическая модель – это приближенное описание какого-либо класса явлений внешнего мира, выраженное с помощью математической символики. Анализ математических моделей позволяет проникнуть в сущность изучаемых явлений. Математическая модель – мощный метод познания, а также прогнозирования и управления внешним миром. Процесс построения и исследования модели осуществляется в несколько этапов:

1. Формулирование законов, связывающих основные объекты модели. Данный этап требует широкого знания фактов, относящихся к изучаемым явлениям, и глубокого проникновения в их взаимосвязи. Эта стадия завершается записью в математических терминах сформулированных качественных представлений о связях между объектами модели.

2. Исследование математических задач, к которым приводит математическая модель. Основным вопросом здесь является получение в результате анализа выходных данных для дальнейшего их сопоставления с результатами изучаемых явлений. На этом этапе важную роль приобретает математический аппарат, необходимый для анализа математической модели, и вычислительная техника – мощное средство для получения количественной выходной информации как результата решения сложных математических задач.

3. Выяснение того, удовлетворяет ли принятая гипотетическая модель критерию практики, т.е. согласуются ли результаты наблюдений с теоретическими следствиями модели в пределах точности наблюдений. Применение критерия практики к оценке математической модели позволяет делать вывод о правильности положений, лежащих в основе модели.

4. Применение модели для решения задач интерполяции и прогнозирования.

Классификация математических моделей:

1. линейные и нелинейные;

2. статические и динамические;

3. стационарные и нестационарные;

4. детерминированные и вероятностные (стохастические);

5. однофакторные и многофакторные;

6. однокритериальные и многокритериальные.

Следует отметить определенное различие между одноименными классами моделей и методами их исследования. Так, для исследования статических моделей могут применяться динамические методы (динамическое программирование), а для детерминированных – вероятностные (стохастическое программирование).

Во многих областях целенаправленной деятельности человека: экономике (планирование и управление экономическими объектами), технике (выбор наилучшего проекта или оптимальной конструкции), военном деле (планирование боевых операций и управление войсками) – возникают задачи о нахождении минимумов и максимумов функций многих переменных. Эти задачи называются задачами математического программирования.

В общем виде задачу математического программирования можно сформулировать следующим образом:

Максимизировать целевую функцию f(x₁,…x_n) на допустимом множестве, которое задается системой g_i(x₁,..,x_n)0, i=1,…,m.

Точка (x₁,..,x_n), которая удовлетворяет всем ограничениям задачи, называется допустимой, или допустимым решением.

Различные классы задач математического программирования получаются при конкретизации условий на целевую функцию f и ограничения g. Если последние линейны, то получают задачу линейного программирования, в противном случае - нелинейного программирования. В задачах стохастического программирования учитывается зависимость f и g от случайных факторов. В динамическом программировании понятие оптимального решения (вне зависимости от вида f и g) представляется в виде многошагового процесса.