Эксцентриситет эллипса

Эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного расстояния к длине большой оси эллипса; обозначив эксцентриситет буквой , получим:

 = .

Так как с<a, то <1, т.е. эксцентриситет каждого эллипса меньше единицы.

Учитывая, что с² = а² - b²; -

;

отсюда

.

Cледовательно, эксцентриситет определяется отношением осей эллипса, а отношение осей, в свою очередь, определяется эксцентриситетом. Таким образом, эксцентриситет характеризует форму эллипса. Чем ближе эксцентриситет к единице, тем меньше 1 - ², тем меньше, следовательно, отношение ; значит, чем больше эксцентриситет, тем более эллипс вытянут. Наоборот, чем больше отношение , тем меньше эксцентриситет и эллипс является менее вытянутым. В предельном случае, когда b = a, т.е. когда эллипс обращается в окружность, его эксцентриситет обращается в нуль.

В заключение отметим: из определения эллипса непосредственно вытекает способ построения его при помощи нити: если концы нерастяжимой нити длиной 2а закрепить в фокусах F₁ и F₂ и натянуть нить острием карандаша, то при движении острия оно будет вычерчивать эллипс с фокусами F₁ и F₂ и суммой фокальных радиусов 2а.

Гипербола Определение гиперболы и вывод ее канонического уравнения

Гиперболой называется геометрическое место точек на плоскости, для которых разность расстояний от двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная; указанная разность берется по абсолютному значению. Кроме того, требуется, чтобы разность была меньше расстояния между фокусами и отлична от нуля. Фокусы гиперболы обозначим через F₁ и F₂, а расстояние между ними - через 2с.

Рис. 3

Для вывода уравнения гиперболы возьмем систему координат XOY так, чтобы фокусы гиперболы F1 и F2 лежали на оси абсцисс, а начало координат делило отрезок F1F2 (F1F2=2c) пополам. Тогда координаты фокуса F1 будут (с;0), а фокуса F2 – числа (-с;0)(рис.3).

Возьмем точку M(x;y), лежащую на гиперболе, и проведем отрезки MF₁ и MF₂. Длину отрезка MF₁ обозначим r₁, а длину отрезка MF₂ – через r₂:

MF₁ = r₁; MF₂ = r_2.

Числа r₁ и r₂ называются фокальными радиусами точки М гиперболы. Обозначив разность фокальных радиусов через 2а, имеем 2а<2c, или а<c.

На основании определения гиперболы как геометрического места точек на плоскости, можно утверждать, что для всех точек гиперболы, и только для них, должно выполняться равенство:

r₁ - r₂ =  2a. (6)

По формуле расстояния между двумя точками имеем:

Подставляя найденные значения r₁ и r₂ в уравнение (6), получим:

(7)

Уравнение (7) является уравнением гиперболы. Приведя уравнение (7) к более удобному виду, получим:

(8)

Уравнению (8) будут удовлетворять координаты каждой точки, лежащей на гиперболе. Можно показать, что координаты точек, не принадлежащих гиперболе, уравнению (8) не удовлетворяют. Следовательно, уравнение (8) является уравнением рассматриваемой гиперболы. Уравнение (8) называется каноническим уравнением гиперболы.