Глава III.4. Электрическая емкость § III.4.1. Электроемкость уединенного проводника

1º. Если на уединенном проводнике возрастает сообщенный ему заряд, то он распределяется по поверхности проводника с различной поверхностной плотностью. Характер распределения заряда зависит только от формы проводника, а не от заряда, который уже имеется на проводнике. Каждая новая порция зарядов распределяется по поверхности проводника подобно предыдущей. Отсюда следует, что в любой точке поверхности проводника поверхностная плотностьσзаряда (III.2.2.3°) возрастает прямо пропорционально зарядуqна проводнике: σ =kq, гдеk=f(x,у,z) есть функция координат рассматриваемой точки поверхности.

Потенциал поля заряженного проводника (III.3.2.6°)

.

Для точек поверхности Sпроводника интеграл зависит только от размеров и формы поверхности, и поэтому потенциалφпроводника прямо пропорционален его зарядуq.

2°. Отношение зарядаqуединенного проводника к его потенциалуφназываетсяэлектрической емкостью(электроемкостью,емкостью) данного проводника:

или(в СИ).

Электроемкость уединенного проводника численно равна электрическому заряду, который нужно сообщить проводнику для того, чтобы его потенциал изменился на единичную величину.

Электроемкость уединенного проводника зависит от его формы и размеров. Для геометрически подобных проводников емкости пропорциональны их линейным размерам.

Емкость уединенного проводника зависит от диэлектрических свойств окружающей его среды. Для однородной, изотропной среды емкость проводника прямо пропорциональна относительной диэлектрической проницаемости среды (III.1.2.4°).

3°. Из формулы потенциала уединенного шара радиуса (III.3.2.6°) следует, чтоемкостьтакогошараравна:

(в СИ),

(в системе СГСЭ).

§ III.4.2. Взаимная емкость. Конденсаторы

1°. Если вблизи проводникаАимеются другие проводники, то его электроемкость больше, чем у такого же уединенного проводника. Это объясняется тем, что когда проводникуАсообщается зарядq, то окружающие его проводники заряжаются через влияние, причем ближайшими к наводящему зарядуqбудут заряды противоположного знака (рис. III.4.1). Эти заряды, ослабляя поле, создаваемое зарядомq, снижают потенциал проводника и увеличивают его емкость.

2°. Для двух близко расположенных друг от друга проводников, заряженных равными по абсолютной величине, но противоположными по знаку зарядамиq, разность потенциаловφ₁–φ₂, пропорциональнаq:

,

где C–взаимная емкостьдвух проводников:.

Взаимная емкость двух проводников численно равна заряду, который нужно перенести с одного проводника на другой для изменения разности потенциалов между ними на единицу.

3°. Взаимная емкостьСдвух проводников зависит от их формы, размеров и взаимного их расположения. Кроме того,Сзависит от диэлектрических свойств среды, окружающей проводники. Если среда однородна и изотропна, тоСпрямо пропорциональна относительной диэлектрической проницаемости среды (III.1.2.4°).

При удалении одного из проводников в бесконечность разность потенциалов φ₁– –φ₂между ними возрастает, а их взаимная емкость убывает и стремится к емкости оставшегося уединенного проводника.

4°. Система двух проводников называетсяконденсатором, если форма и расположение проводников обеспечивают сосредоточение электростатического поля, созданного проводниками, в ограниченной области пространства. Проводники, составляющие конденсатор, заряжаются разноименно равными по абсолютной величине и противоположными по знаку зарядами. Сами проводники называются в этом случаеобкладками конденсатора. Емкость конденсатора представляет собой взаимную емкость его обкладок.

5°. Емкостьплоского конденсатора, состоящего из двух параллельных металлических пластин площадьюSкаждая, расположенных на расстоянииdдруг от друга, выражается формулой:

(в СИ),

(в системе СГСЭ).

гдеε– относительная диэлектрическая проницаемость среды, заполняющей пространство между пластинами. Для плоского многопластинчатого конденсатора, содержащегоnпластин, вместоSв формулу емкости входитS(n– 1). Формула справедлива лишь при маломd, когда можно пренебречь нарушением однородности электростатического поля у краев обкладок конденсатора.

6°.Сферический конденсаторсостоит из двух концентрических металлических обкладокАиВсферической формы, радиусы которых равныr₁иr₂(рис. III.4.2). Поле заряженной по поверхности сферы существует только вне сферы (III.2.1.2°). Поэтому в области между обкладками электростатическое поле создается только зарядом обкладкиА, а вне конденсатора поля разноименно заряженных обкладокaиbвзаимно уничтожаются.

Емкость сферического конденсатора вычисляется по формуле:

(в СИ),

(в системе СГСЭ).

При r₂→ ∞ и→ 0 внутренняя обкладка является уединенным шаром иC= 4πε₀εr₁(ср. III.4.1.3°). При любых конечных значенияхr₁иr₂

,

т. е. емкость сферического конденсатора больше емкости уединенного шара.

7°.Цилиндрический конденсаторпредставляет собой два полых коаксиальных металлических цилиндра с высотойhи радиусамиr₁иr₂(рис. III.4.3).

Формула емкости цилиндрического конденсатора (а также коаксиального кабеля) имеет вид:

(в СИ),

(в системе СГСЭ).

8°. Конденсаторы всех типов характеризуютсяпробивным напряжением(напряжение пробоя) – такой разностью потенциалов между обкладками, при которой происходит электрический разряд (III.9.5.1º) через слой диэлектрика в конденсаторе. Величина напряжения пробоя зависит от свойств диэлектрика, его толщины и формы обкладок.

9°. Для получения больших электроемкостей используетсяпараллельное соединение конденсаторов, при котором соединяются одноименно заряженные обкладки. Общая емкостьСпри этом равна:

,

где C_i– емкостьi-го конденсатора.

10°. Припоследовательном соединении конденсаторовони соединяются разноименно заряженными обкладками. При этом складываются величины, обратные емкостям каждого конденсатораC_i:

.

Результирующая емкость Свсегда меньше минимальной емкости, входящей в батарею. При последовательном соединении уменьшается возможность пробоя конденсаторов (п. 8°), так как напряжение на каждом конденсаторе составляет лишь часть общей разности потенциалов, поданной на всю батарею.