§ III.14.4. Полная система уравнений Максвелла для электромагнитного поля

1º. Полная система уравнений Максвелла для электромагнитного поля включает в себя помимо уравнений, рассмотренных в (III.14.2.1° и 2º) и (III.14.3.4° и 5°), теорему Остроградского-Гаусса для электрического поля (III.5.3.3°):

(в СИ),

(в системе СГСЭ)

и эту же теорему для магнитного поля (III.10.5.6º): .

Максвелл предположил, что теорема для потока вектора смещения электрического поля справедлива не только для стационарного электростатического поля, но и для переменного электрического поля.

2º. С помощью теоремы Гаусса из векторного анализаможно, введя объемную плотность свободных зарядов(dV– элемент объема), получитьтретье уравнение Максвелла вдифференциальной форме:

(в СИ),

(в гауссовой системе).

В этих формулах div A(гдеA– произвольный вектор) определяется в декартовых координатах следующим образом:

,

где A=A_xi+A_yj+A_zk,i,jиk– единичные векторы по осям координат.

3°.Полная система уравнений Максвеллавключает четыре уравнения:

I

(в СИ),

, III ,

II , IV

I

(в гауссовой системе).

, III ,

II , IV

4º. Система уравнений Максвелла дополняется уравнениями, которые характеризуют электрические и магнитные свойства среды. Для изотропной среды в случае макротоков, подчиняющихся закону Ома (III.7.3.4°), эти уравнения имеют вид:

,,(в СИ),

,,(в гауссовой системе).

Здесь ε₀иμ₀– электрическая и магнитная постоянные в СИ (III.1.2.5°) и (III.10.2.2°),εиμ– относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости,γ– удельная электрическая проводимость.

Для решения системы уравнения Максвелла необходимо также задание граничных условий для векторов, характеризующих электромагнитное поле,

(в СИ),

,,

,

(в гауссовой системе),

,,

,

где σ– поверхностная плотность свободных электрических зарядов,n– единичный вектор нормали к границе, направленный из среды 2 в среду 1,t– единичный вектор касательной к границе,j_пов– проекция вектора плотности поверхностных токов проводимости на направление [tn].

При заданных граничных и начальных условиях, т. е. известных значениях векторов EиHв начальный момент времениt= 0, система уравнений Максвелла имеет единственное решение.

5°. Уравнения Максвелла инвариантны относительно преобразований Лоренца (I.5.3.2°).

В СТО (I.5.1.1°) доказывается, что единое электромагнитное поле в различных инерциальных системах отсчета (I.2.1.2°) проявляется различно. В частности, одно из полей – электрическое или магнитное – может отсутствовать в одной системе координат и присутствовать в другой. Формулы преобразований Лоренца для составляющих по осям векторов E,H,DиBэлектрического и магнитного полей при переходе от неподвижной инерциальной системыKк системеK', движущейся относительноKравномерно и прямолинейно вдоль осиOXсо скоростьюV,

в СИ:

,,,

,,,

,,,

,,.

В гауссовой системе:

,,,

,,.

6º. Дальнейшим развитием теории электромагнитного поля Максвелла явилась классическая электронная теория Лоренца. Эта теория исходила из определенных модельных представлений о строении вещества: считалось, что атомы состоят из отрицательно и положительно заряженных частиц и все многообразие электрических и магнитных явлений объясняется определенным расположением, движением, взаимодействием зарядов и микротоков. В любой точке пространства существуют некоторые электрическое и магнитное микрополя с напряженностямиeиh, которые являются результатом совокупного действия всех зарядов и микротоков. Микрополя подчиняются системе уравнений, аналогичных уравнениям Максвелла (п. 3°). Усреднение уравнений электронной теории (III.14.1.4°) позволяет перейти к уравнениям Максвелла для макроскопических полейEиH(III.14.1.3°), которые оказываются усредненными микрополямиeиh:

,.

Векторы DиHоказываются связанными с <е>и <h>векторами поляризацииP_e(III.5.2.3°) и интенсивности намагничиванияJ(III.13.3.1°) так, как указано в III.5.3.4° и Ш.13.4.4º:

,(в СИ),

,(в гауссовой системе).

^Обычная в нашем мире неустойчивость позитрона, связанная с аннигиляцией электрон-позитронной пары (VIII.2.5.1°), при этом не рассматривается.

*⁾В дальнейшем используются только внешние нормали.

*⁾При этом ΔV≫v₀, гдеv₀– объем одной молекулы, и в объеме ΔVсодержится весьма большое число молекул.

*⁾Рассмотрение явлений, происходящих в сегнетоэлектриках при, приводящих к распаду доменов, выходит за рамки данного справочника.

*⁾В этой главе предполагается, что электрические заряды и заряженные тела находятся в изотропной, однородной несегнетоэлектрической (III.5.4.1°) среде.

*⁾В электротехнике эта величина называетсятоком.

*^*)В случае тока проводимости – через поперечное сечение проводника.

*⁾ В других проводящих средах векторjсовпадает по направлению с движением положительно заряженных носителей тока.

*⁾Во всех примерах параграфа III.10.3 предполагается, что среда однородна, изотропна и заполняет все пространство, в котором существует магнитное поле.

*⁾Везде в формулах, написанных в гауссовой системе единиц,с– электродинамическая постоянная (III.10.2.2°).

*⁾Сведения о трансформаторе предполагаются известными из курса физики средней школы.

*^*)В этом параграфе предполагается, что проводники с токами находятся в неферромагнитной, однородной и изотропной среде.

*⁾О магнитных свойствах атомных ядер см. VIII.1.1.6°.

*⁾Безотносительно к тому, является ли это магнитное поле внешним, созданным, например, проводниками с токами, или внутренним магнитным полем самого вещества (III.13.4.2°).

*⁾ А также, и ряд других, которые не рассматриваются в данном справочнике.

*⁾Нумерация уравнений Максвелла условна и часто бывает обратной той, которая принята в данном справочнике.

*^*) Магнитное поле всегда является вихревым (III.10.5.3°).