§ III.3.3. Связь между потенциалом и напряженностью электростатического поля

1°. Элементарная работа δA, совершаемая при бесконечно малом перемещении зарядаq'в электростатическом поле, на основании формул в III.3.2.1° и III.3.2.6°:

или

,.

Но , гдеdl₀– элемент длины силовой линии (III.1.1.4°) (рис. III.3.3), поэтому. Производнаяпредставляет собой быстроту изменения потенциала вдоль силовой линии, численно равную изменению потенциала, приходящемуся на единицу длины силовой линии.

2º. ПроекцияE_lвектораЕна направление перемещенияdlравна: . Поэтому

.

Очевидно, чтоE_l≤Eи. ПоэтомуE_lидостигают максимальных значений, если векторdlнаправлен по касательной к силовой линии.

В окрестности данной точки электростатического поля потенциал изменяется наиболее быстро в направлении силовой линии. Вектор Енаправлен в сторону наиболее быстрого убывания потенциала.

3°. В более общем виде связь между напряженностью и потенциалом электростатического поля имеет вид:

,

где grad φ– векторградиента потенциала, направленный в сторону наиболее быстрого возрастания потенциала и численно равный быстроте его изменения на единицу длины в этом направлении. Если потенциалφрассматривать как функцию всех трех декартовых координат данной точки поля, то:

,

где i,jиk– единичные векторы по осямOX,OYиOZ. Проекции вектора напряженности электростатического поля на оси координат связаны с потенциалом поля соотношениями:

,,.

4°. Если электрический заряд перемещается в направленииdl, перпендикулярном к силовой линии, т. е. перпендикулярно векторуЕ, тоE_l= 0 и(п. 1°), т. е.φ= = соnst. Во всех точках кривой, ортогональной к силовым линиям, потенциал одинаков.

Геометрическое место точек с одинаковым потенциалом называется эквипотенциальной поверхностью. Из изложенного выше следует, что эквипотенциальные поверхности должны быть везде ортогональны силовым линиям.

Работа, совершаемая при перемещении электрического заряда по одной и той же эквипотенциальной поверхности, равна нулю.

Вокруг любой системы электрических зарядов можно провести бесконечное множество эквипотенциальных поверхностей. Обычно их строят так, чтобы разности потенциалов между двумя любыми соседними эквипотенциальными поверхностями были одинаковы.

5°. Существуют два способа графического изображения электростатических полей: при помощи силовых линий и при помощи эквипотенциальных поверхностей. По известному расположению силовых линий электростатического поля можно построить эквипотенциальные поверхности, и, наоборот, зная как расположены эквипотенциальные поверхности, можно в каждой точке поля найти величину и направление напряженности поля, т. е. построить силовые линии.

§ III.3.4. Проводники в электростатическом поле

1°. В твердых металлических проводниках существуют носители тока – электроны проводимости (свободные электроны), которые под действием внешнего электрического поля могут перемещаться по объему проводника. Электроны проводимости возникают, когда вещество металлического проводника переходит из менее конденсированного состояния в более конденсированное – из газообразного в жидкое или твердое состояние. При этом происходит обобществление валентных электронов (VI.2.3.9°), которые отделяются от «своих» атомов и образуют своеобразныйэлектронный газ.

2°. Электрические свойства проводников в условиях электростатики определяются поведением электронов проводимости во внешнем электростатическом поле. В отсутствии внешнего электростатического поля электрические поля электронов проводимости и положительных ионов металла (VII.1.1.3°) («атомных остатков») взаимно компенсируют друг друга. Если металлический проводник внесен во внешнее электростатическое поле, то под действием этого поля электроны проводимости перераспределяются в проводнике таким образом, чтобы в любой точке внутри проводника электрическое поле электронов проводимости и положительных ионов скомпенсировало внешнее электростатическое поле.

В любой точке внутри проводника, находящегося в электростатическом поле, напряженность установившегося результирующего электрического поля равна нулю.

3°. На поверхности проводника векторЕнапряженности должен быть направлен по нормали к поверхности. В противном случае касательная составляющаяE_τвектораЕвызовет перемещение зарядов по поверхности проводника, что противоречит статическому распределению зарядов. Из этого результата вытекает ряд следствий:

а) внутри проводника во всех точках Е= 0; на его поверхности во всех точкахЕ= =E_n(E_τ= 0), гдеE_n– нормальная составляющая вектора напряженности;

б) весь объем проводника, находящегося в электростатическом поле, является эквипотенциальным, так как в любой точке внутри проводника

и;

в) поверхность проводника является эквипотенциальной поверхностью (III.3.3.4°), так как для любой линии на поверхности

и;

г) в заряженном проводнике некомпенсированные заряды располагаются только на поверхности. Это следует из теоремы Остроградского-Гаусса (III.2.3.3°), согласно которой суммарный заряд q, находящийся внутри проводника внутри некоторого объема, ограниченного произвольной замкнутой поверхностьюS, равен:

,

так как D= 0 во всех точках поверхности.

4°. Если электростатическое поле создается заряженным проводником, то смещение и напряженность этого поля вблизи поверхности проводника вычисляются по формулам:

,,

где n– внешняя нормаль к поверхности проводника,σ– поверхностная плотность зарядов на проводнике (III.2.2.3°),ε– относительная диэлектрическая проницаемость среды (III.1.2.4°),ε₀– электрическая постоянная в СИ (III.1.2.7º).