§ III.10.6. Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле

1°. Под действием магнитного поля, выражаемым силой Ампера (III.10.1.4°), происходит перемещение в магнитном поле незакрепленного проводника с током. Элементарная работа δA*, совершаемая магнитным полем при перемещении проводника с токомI, имеющего элементарную длинуdl:

(в СИ),

(в гауссовой системе),

где dΦ_m* – магнитный поток (III.10.5.5°) сквозь площадкуdS, прочерчиваемую элементом проводника длинойdlпри его малом перемещении,c– электродинамическая постоянная (III.10.2.2°).

2º. При малом перемещении проводника с током конечной длины элементарная работа δAамперовых сил является суммой элементарных работ для всех элементарных участков проводника. Она равна интегралу от δA*, вычисленному по длинеlпроводника,

(в СИ),

(в гауссовой системе),

где dΦ_m– магнитный поток сквозь поверхность, которую прочерчивает проводник длинойlпри его малом перемещении.

3°. Если проводник с постоянным токомIконечной длиныlсовершает конечное перемещение, то работа амперовых сил на этом перемещении

,

где dΦ_m– магнитный поток сквозь поверхность, которую прочерчивает проводник при своем движении.

4°. Работа, совершаемая магнитным полем при перемещении в нем из начального положения 1 в конечное положение 2 замкнутого плоского контура с постоянным токомI,

,

где Φ_m1иΦ_m2– магнитные потоки, «сцепленные с контуром» в положениях 1 и 2, т. е. магнитные потоки сквозь поверхность, натянутую на контур. При вычислении этих магнитных потоков направление нормалиn(III.10.5.8°) согласуется с направлением тока в контуре по правилу буравчика: из конца вектора нормали ток в контуре должен быть виден идущим против часовой стрелки.

5°. Если в магнитном поле перемещается катушка с током, имеющаяNвитков, или вообще контур произвольной формы, то справедливы формулы, приведенные выше. Например, при малом перемещении катушки с токомIсовершается работа

,

где – полный магнитный поток сквозь всеNвитков катушки, называемыйпотокосцеплением контура.

6°. Работа при перемещении в магнитном поле проводника или замкнутого контура с постоянным током совершается за счет энергии, затрачиваемой в источнике тока (III.8.1.3°).

Глава III.11.Движение заряженных частиц в электрическом и магнитном полях § III.11.1. Сила Лоренца

1°. Магнитное поле действует не только на проводники с токами (III.10.1.4°), но и на отдельные заряженные частицы, движущиеся в магнитном поле. СилаF_Л, описывающая действие магнитного поля на электрический зарядq, движущийся в магнитном поле со скоростьюv, называетсясилой Лоренцаи равна (см. также п. 5°):

(в СИ),

(в гауссовой системе),

где q– алгебраическая величина движущегося заряда,B– индукция магнитного поля, в котором движется заряд (III.10.1.2°),c– электродинамическая постоянная (III.10.2.2°). На рис. III.11.1 показано взаимное расположение векторовv,BиF_Лдля положительного (q> 0) и отрицательного (q< 0) зарядов. Модуль силы Лоренца равен:

,

где– угол между векторамиvиB.

2°. Сила Лоренца направлена всегда перпендикулярно скорости движения заряженной частицы и сообщает ей нормальное ускорение (I.1.4.6°). Таким образом, не изменяя модуля скорости, а лишь изменяя ее направление, магнитное поле не совершает работы и кинетическая энергия заряженной частицы при движении в магнитном поле не изменяется.

3°. С помощью силы Лоренца можно дать следующее определение магнитной индукцииB(III.10.1.2º): модуль вектора магнитной индукции в данной точке магнитного поля равен наибольшей лоренцевой силеF_{Л макс}, описывающей действие магнитного поля на единичный положительный заряд, который в данной точке движется с единичной скоростью,

.

F_Л=F_{Л макс}при условии, чтоα= π/2 (п. 2º). См. также III.10.1.2° и III.10.4.2°.

4°. Сила, с которой движущийся зарядq₁действует на движущийся зарядq₂, называетсясилой магнитного взаимодействия зарядов(магнитные силы). Для частного случая движущихся в вакууме положительных зарядовq₁иq₂, скорости которыхv₁= =v₂=v≪cодинаковы и направлены вдоль осиОХ, силаF_mмагнитного взаимодействия зарядов является силой притяжения и численно равна:

(в СИ),

где r– расстояние между зарядами,μ₀– магнитная постоянная (III.10.2.2°). СилуF_mмагнитного взаимодействия можно представить в форме:

,

где

.

В таком виде сила F_mсовпадает с силой Лоренца при sinα= l (п. 1º), если считать, чтоBесть индукция магнитного поля (III.10.1.2°), созданного движущимся зарядомq₁. Это поле, в свою очередь, действует на движущийся зарядq₂. Возникновение магнитного поля объясняется специальной теорией относительности (I.5.1.1°): при переходе от неподвижной инерциальной системы отсчета к движущейся силы преобразуются по релятивистским формулам.

Сравнивая силу F_mс силой электростатического отталкивания между взаимно неподвижными зарядамиq₁иq₂, находящимися в вакууме (ε= 1) на том же расстоянииr(III.1.2.6°),

(в СИ),

(ε₀– электрическая постоянная в СИ), легко найти, что:

,

где c– электродинамическая постоянная (III.10.2.2°), связанная сε₀иμ₀соотношением(IX). При скорости зарядов, малой по сравнению со скоростью света в вакууме (v≪с) магнитное взаимодействие между движущимися зарядами значительно меньше их электростатического взаимодействия. Однако в случае, когда заряды движутся в проводнике, который электрически нейтрален, и электрические силы оказываются скомпенсированными (III.3.4.2°), остается только магнитное взаимодействие. Этим объясняется магнитное взаимодействие проводников с токами (III.10.4.1°). Хотя сила магнитного взаимодействия между каждой парой электронов мала, число пар столь велико, что результирующая сила магнитного взаимодействия параллельных проводников с токами оказывается заметной величиной (III.10.4.1°).

5º. Если на движущийся электрический заряд кроме магнитного поля с индукциейBдействует и электрическое поле с напряженностьюE(III.2.1.2º), то результирующая силаF, описывающая действие полей на заряд, равна векторной сумме силыF_e=qE,с которой на заряд действует электрическое поле, и силы Лоренца (п. 1º),

(в СИ),

(в гауссовой системе).

Последнее выражение также называется силой Лоренца, а иногда обобщенной силой Лоренцаилиформулой Лоренца.

6°. Под действием однородного магнитного поля, описываемым силой Лоренца (п. 1°), заряженная частица движется по окружности постоянного радиусаr, если вектор индукции магнитного поля направлен перпендикулярно скорости частицы. Окружность лежит в плоскости, перпендикулярной векторуB, и сила Лоренца является центростремительной силой (I.2.4.3°). Радиус окружности равен:

(в СИ),

(в гауссовой системе),

где |q| – абсолютная величина заряда частицы,m– ее масса,v– скорость частицы,B– индукция магнитного поля,с– электродинамическая постоянная (III.10.2.2°). Если частица движется в плоскости чертежа (рис. III.11.2), то ее отклонение в поле, направленном перпендикулярно скорости из-за чертежа, зависит от знака заряда. На этом основан метод определения знака заряда частиц, движущихся в магнитном поле.

Период обращенияT(I.1.5.5°) заряженной частицы в однородном магнитном поле (III.10.1.2°) не зависит от ее скорости (приv≪с):

(в СИ),

(в гауссовой системе).

Это явление служит основой создания циклических ускорителей заряженных частиц (III.11.4.6°).

7º. Если вектор скоростиvзаряженной частицы составляет уголαс направлением вектораВоднородного магнитного поля, то частица движется по винтовой линии (рис. III.11.3). Радиус виткаrи шаг винтаhравны:

,(в СИ),

,(в гауссовой системе).

Если рассмотренное движение происходит в неоднородном магнитном поле (III.10.1.2°), индукция которого возрастает в направлении движения частицы, то rиhуменьшаются с ростомB. На этом основан метод фокусировки заряженных частиц в магнитном поле.