§ III.10.3. Некоторые простейшие случаи магнитного поля постоянных токов

1°. С помощью закона Био-Савара-Лапласа можно найти характеристики магнитного поля (BиH) электрического тока, текущего по проводнику конечных размеров и произвольной формы. По принципу суперпозиции полей (III.2.2.2°) магнитная индукцияBв произвольной точке магнитного поля проводника с токомIравна:

,

где dB– магнитная индукция поля, создаваемого элементом проводника длинойdl. Интегрирование проводится по всей длине проводникаL.

2°.Прямолинейный проводник NM с током Iв произвольной точкеАсоздает магнитное поле с индукциейBи напряженностьюH, равными^*)

,(в СИ),

,(в гауссовой системе),

где r₀– расстояние от точкиАдо проводника,φ₁иφ₂– углы, которые образуют радиусы-векторы, проведенные в точкуАиз начала и конца проводника (рис. III.10.4),μ– относительная магнитная проницаемость среды,μ₀– магнитная постоянная в СИ (III.10.2.2°).

Для бесконечно длинного прямолинейного проводника (φ₁= 0,φ₂= π)

,(в СИ),

,(в гауссовой системе).

3º. Магнитное поле в центрепрямоугольного проводника с током I:

,(в СИ),

,(в гауссовой системе),

где aиb– стороны прямоугольника.

4°.Магнитный моментр_тконтурас токомI, имеющего произвольную форму:

, (в СИ),

, (в гауссовой системе),

где n– единичный вектор внешней нормали к элементуdSповерхностиS, ограниченной контуром с током. В случае плоского контура поверхностьS– плоская и все нормали имеют одинаковое направление, поэтому

,(в СИ),

,(в гауссовой системе).

Вектор p_mнаправлен так, чтобы из его конца ток в контуре был виден текущим против часовой стрелки (рис. III. 10.5).

5°. Магнитное поле, создаваемоекруговым витком с токомв произвольной точкеАна оси витка (рис. III.10.6),

,(в СИ),

,(в гауссовой системе).

Здесь p_m– магнитный момент кругового витка с током (п. 4°). Модули векторовВиНравны:

,(в СИ),

,(в гауссовой системе),

где h– расстояние до центра витка,R– радиус витка,S– площадь витка.

6°. Магнитное поле в центре кругового витка (п. 5°):

,(в СИ),

,(в гауссовой системе).

Модули BиHравны:

,(в СИ),

,(в гауссовой системе).

Вектор индукция магнитного поля (и напряженности магнитного поля) направлен по оси витка перпендикулярно к его плоскости (рис. III.10.6).

7°.Тороидомназывается кольцевая катушка, витки которой намотаны на сердечник, имеющий форму тора (рис. III.10.7). Магнитное поле тороида полностью локализовано внутри тороида.

Характеристики магнитного поля вычисляются по формулам:

,(в СИ),

,(в гауссовой системе).

Магнитная индукция Bи напряженностьHмагнитного поля на осевой линии тороида:

,(в СИ),

Здесь N– число витков тороида с токомI,r– радиус некоторой окружности, проведенной внутри тора,R_ср= ½(R₁+ R₂),R₁иR₂– внешний и внутренний радиусы тора,n– число витков на единицу длины осевой линии тороида.

8°.Соленоидомназывается цилиндрическая катушка, состоящая из большого числа витков проволоки, образующих винтовую линию. При расположении витков вплотную или весьма близко друг другу соленоид рассматривается как система последовательно соединенных круговых токов одинакового радиуса с общей осью.

Магнитный момент соленоида (п. 4°) равен векторной сумме магнитных моментов всех Nего витков:

,

где I– сила тока в витках соленоида,S– площадь его поперечного сечения,n– единичный вектор нормали к поверхностиS. Векторp_mнаправлен по оси соленоида и совпадает с направлением индукции его магнитного поля, определяемым по правилу буравчика (III.10.1.3°).

Магнитная индукция Ви напряженностьHполя соленоида в произвольной точкеА, лежащей на его оси, численно равны:

,(в СИ),

,(в гауссовой системе),

где – число витков на единицу длины соленоида,α₁иα₂– углы, под которыми из точкиАвидны концы соленоида (α₂<α₁),

,,

L– длина соленоида (рис. III.10.8),R– радиус цилиндрической катушки.

9°. ЕслиL≫R, то магнитное поле внутри соленоида в точках на его оси, удаленных от концов соленоида:

,(в СИ),

,(в гауссовой системе).

Магнитная индукция Bи напряженностьHмагнитного поля достаточно длинного соленоида в точках на его оси, совпадающих с его концами, численно равны:

,(в СИ),

,(в гауссовой системе).